Algebra
Faktorisering

Faktorisering med abc-formelen

Fullfør og fortsett Neste leksjon Finn ut mer

For å faktorisere et andregradsuttrykk kan vi løse likningen med abc-formelen og bruke svarene inn i det generelle uttrykket

\begin{align}a\cdot x^2+b\cdot x+c &=0\\ x &=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}\\
x=x_1 &\vee x= x_2\\a\cdot x^2+b\cdot x+c&=a(x-x_1)(x-x_2) \end{align}

Oppgave 1

  • Løsningsforslag:


    \begin{align}x^2+4x+3&=0\\x&=\frac{-4\pm\sqrt{16-12}}{2}\\x&=\frac{-4\pm2}{2}\\ x=\frac{-4+2}{2}&\vee x=\frac{-4-2}{2}\\x=-1 &\vee x=-3\\ \\
    x^2+4x+3&=(x+3)(x+1)
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+6x+8&=0\\
    x&=\frac{-6\pm\sqrt{36-32}}{2}\\
    x&=\frac{-6\pm2}{2}\\
    x=\frac{-6 + 2}{2}
    &\vee x=\frac{-6-2}{2}\\
    x=-2 &\vee x=-4\\ \\
    x^2+6x+8&=(x+2)(x+4)
    \end{align}

  • Løsningsforslag:


    \begin{align}
    x^2+8x+15&=0\\
    x&=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4\cdot 15}}{2}\\
    &=\frac{-8\pm\sqrt{64-60}}{2}\\
    &=\frac{-8\pm\sqrt{4}}{2}\\
    &=\frac{-8\pm 2}{2}\\
    x=\frac{-8 - 2}{2}&\vee x=\frac{-8 + 2}{2}\\
    x=\frac{-10}{2} &\vee x=\frac{-6}{2}\\
    x=-5 &\vee x=-3\\ \\
    x^2+8x+15&=(x+3)(x+5)
    \end{align}

  • Løsningsforslag:
    \begin{align}
    x^2+10x+24&=0\\
    x&=\frac{-10\pm\sqrt{100-96}}{2}\\
    x&=\frac{-10\pm 2}{2}\\
    x=\frac{-8}{2} &\vee x=\frac{-12}{2}\\
    x=-4 &\vee x=-6\\ \\
    x^2+10x+24&=(x+4)(x+6)\\
    \end{align}

  • Løsningsforslag:


    \begin{align}x^2+12x+35&=0\\
    x&=\frac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot 1\cdot 35}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{-12\pm \sqrt{144-140}}{2}\\
    x&=\frac{-12\pm \sqrt{4}}{2}\\
    x&=\frac{-12\pm 2}{2}\\
    x=\frac{-12+2}{2} &\vee x=\frac{-12-2}{2}\\
    x= -5 &\vee x=-7\\ \\
    x^2+12x+35&=(x+7)(x+5)
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+14x+48&=0\\
    x&=\frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot 1\cdot 48}}{2}\\
    &=\frac{-14\pm\sqrt{196-192}}{2}\\
    &=\frac{-14\pm\sqrt{4}}{2}\\
    &=\frac{-14\pm2}{2}\\
    \frac{-14+2}{2}&\vee x=\frac{-14-2}{2}\\
    x=\frac{-12}{2}&\vee x=\frac{-16}{2}\\
    x=-6 &\vee x=-8\\ \\
    x^2+14x+48&=(x+6)(x+8)
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+16x+63&=0\\
    x&=\frac{-16\pm \sqrt{16^2-4\cdot 63}}{2}\\
    x&=\frac{-16\pm \sqrt{256-252}}{2}\\
    x&=\frac{-16\pm 2}{2}\\
    x=\frac{-16+2}{2} &\vee x=\frac{-16-2}{2}\\
    x=-7 &\vee x=-9\\ \\
    x^2+16x+63&=(x+9)(x+7)\\
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+10x+16 &=0\\
    x&=\frac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot 1\cdot 16}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{-10\pm\sqrt{100-64}}{2}\\
    x&=\frac{-10\pm\sqrt{36}}{2}\\
    x&=\frac{-10\pm6}{2}\\
    x=\frac{-10-6}{2}&\vee x=\frac{-10+6}{2}\\
    x=\frac{-16}{2}&\vee x=\frac{-4}{2}\\
    x=-8&\vee x=-2\\ \\
    x^2+10x+16 &=(x+2)(x+8)
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+12x+27&=0\\
    x&=\frac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot 1\cdot 27}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{-12\pm\sqrt{144-108}}{2}\\
    x&=\frac{-12\pm\sqrt{36}}{2}\\
    x&=\frac{-12\pm 6}{2}\\
    x=\frac{-12-6}{2} &\vee x=\frac{-12+6}{2}\\
    x=\frac{-18}{2} &\vee x=\frac{-6}{2}\\
    x=-9 &\vee x=-3\\ \\
    x^2+12x+27&=(x+3)(x+9)
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+12x+20&=0\\
    x&=\frac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot 1\cdot 20}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{-12\pm\sqrt{144-80}}{2}\\
    x&=\frac{-12\pm\sqrt{64}}{2}\\
    x&=\frac{-12\pm 8}{2}\\
    x=\frac{-12-8}{2} &\vee x=\frac{-12+8}{2}\\
    x=\frac{-20}{2} &\vee x=\frac{-4}{2}\\
    x=-10 &\vee x=-2\\ \\
    x^2+12x+20&=(x+2)(x+10)
    \end{align}

Oppgave 2

  • \begin{align}
    x^2-2x-3&=0\\
    x&=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot(-3)}}{2}\\
    x&=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}\\
    x&=\frac{2\pm 4}{2}\\
    x=\frac{6}{2}&\vee x=\frac{-2}{2}\\
    x=3 &\vee x=-1\\ \\
    x^2-2x-3&=(x-3)(x+1)\\
    \end{align}

  • \begin{align}
    x^2-2x-8&=0\\
    x&=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot (-8)}}{2}\\
    &=\frac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}\\
    &=\frac{2\pm\sqrt{36}}{2}\\
    &=\frac{2\pm 6}{2}\\
    x=\frac{2+6}{2} &\vee x=\frac{2-6}{2}\\
    x=4 &\vee x=-2\\ \\
    x^2-2x-8&=(x-4)(x+2)
    \end{align}

  • \begin{align}
    x^2-2x-15&=0\\
    x&=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot (-15)}}{2}\\
    &=\frac{2\pm\sqrt{4+60}}{2}\\
    &=\frac{2\pm\sqrt{64}}{2}\\
    &=\frac{2\pm 8}{2}\\
    x=\frac{10}{2} &\vee x=\frac{-6}{2}\\
    x=5 &\vee x=-3\\ \\
    x^2-2x-15&=(x-5)(x+3)
    \end{align}

  • \begin{align*}
    x^2-2x-24&=0\\
    x&=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot(-24)}}{2}\\
    &=\frac{2\pm\sqrt{4+96}}{2}\\
    &=\frac{2\pm 10}{2}\\
    x= \frac{12}{2}&\vee x=\frac{-8}{2}\\
    x=6 &\vee x=-4\\ \\
    x^2-2x-24&=(x-6)(x+4)
    \end{align*}

  • \begin{align}
    x^2-2x-35&=0\\
    x&=\frac{2\pm\sqrt{4+140}}{2}\\
    &=\frac{2\pm\sqrt{144}}{2}\\
    &=\frac{2\pm 12}{2}\\
    x=\frac{14}{2} &\vee x=\frac{-10}{2}\\
    x=7 &\vee x=-5\\ \\
    x^2-2x-35&=(x-7)(x+5)
    \end{align}

Oppgave 3

  • \begin{align}
    x^2-2x-48&=0\\
    x&=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-48)}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{2\pm\sqrt{4+192}}{2}\\
    x&=\frac{2\pm\sqrt{196}}{2}\\
    x&=\frac{2\pm 14}{2}\\
    x=\frac{2-14}{2} &\vee x=\frac{2+14}{2}\\
    x=\frac{-12}{2} &\vee x=\frac{16}{2}\\
    x=-6 &\vee x=8\\ \\
    x^2-2x-48&=(x-8)(x+6)
    \end{align}

  • \begin{align}
    x^2-2x-63&=0\\
    x&=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-63)}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{2\pm\sqrt{4+252}}{2}\\
    x&=\frac{2\pm\sqrt{256}}{2}\\
    x&=\frac{2\pm 16}{2}\\
    x=\frac{2- 16}{2} &\vee x=\frac{2+ 16}{2}\\
    x=\frac{-14}{2} &\vee x=\frac{18}{2}\\
    x=-7 &\vee x=9\\ \\
    x^2-2x-63&=(x-9)(x+7)
    \end{align}

  • \begin{align}
    x^2+6x-16&=0\\
    x&=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot(-16)}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{-6\pm\sqrt{36+64}}{2}\\
    x&=\frac{-6\pm\sqrt{100}}{2}\\
    x&=\frac{-6\pm 10}{2}\\
    x=\frac{-6-10}{2} &\vee x=\frac{-6+10}{2}\\
    x=\frac{-16}{2} &\vee x=\frac{4}{2}\\
    x=-8 &\vee x=2\\ \\
    x^2+6x-16&=(x+8)(x-2)
    \end{align}

  • \begin{align}
    x^2+6x-27&=0\\
    x&=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot (-27)}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{-6\pm\sqrt{36+108}}{2}\\
    x&=\frac{-6\pm\sqrt{144}}{2}\\
    x&=\frac{-6\pm 12}{2}\\
    x=\frac{-6-12}{2} &\vee x=\frac{-6+12}{2}\\
    x=\frac{-18}{2} &\vee x=\frac{6}{2}\\
    x=-9 &\vee x=3\\ \\
    x^2+6x-27&=(x+9)(x-3)
    \end{align}

  • \begin{align}
    x^2+8x-20&=0\\
    x&=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4\cdot 1\cdot (-20)}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{-8\pm\sqrt{64+80}}{2}\\
    x&=\frac{-8\pm\sqrt{144}}{2}\\
    x&=\frac{-8\pm 12}{2}\\
    x=\frac{-8- 12}{2} &\vee x=\frac{-8+ 12}{2}\\
    x=\frac{-20}{2} &\vee x=\frac{4}{2}\\
    x=-10 &\vee x=2\\ \\
    x^2+8x-20&=(x+10)(x-2)
    \end{align}

Oppgave 4

  • \begin{align}
    x^2-4x+3&=0\\
    x&=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}\\
    &=\frac{4\pm 2}{2}\\
    x=\frac{6}{2} &\vee x=\frac{2}{2}\\
    x=3 &\vee 1\\ \\
    x^2-4x+3&=(x-3)(x-1)
    \end{align}

  • \begin{align}
    x^2-6x+8 &=0\\
    x&=\frac{-(-6)\pm\sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot 8}}{2}\\
    x&=\frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}\\
    x&=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2}\\
    x&=\frac{6\pm 2}{2}\\
    x=\frac{6-2}{2} &\vee x=\frac{6+ 2}{2}\\
    x=\frac{4}{2} &\vee x=\frac{8}{2}\\
    x=2 &\vee x=4\\ \\
    x^2-6x+8 &=(x-2)(x-4)
    \end{align}

  • \begin{align}
    x^2-8x+15&=0\\
    x&=\frac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{8\pm\sqrt{64-60}}{2}\\
    x&=\frac{8\pm\sqrt{4}}{2}\\
    x&=\frac{8\pm 2}{2}\\
    x=\frac{8-2}{2} &\vee x=\frac{8+2}{2}\\
    x=\frac{6}{2} &\vee x=\frac{10}{2}\\
    x=3 &\vee x=5\\ \\
    x^2-8x+15&=(x-3)(x-5)
    \end{align}

  • \begin{align}
    x^2-10x+24&=0\\
    x&=\frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot 1\cdot 24}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{10\pm\sqrt{100-96}}{2}\\
    x&=\frac{10\pm\sqrt{4}}{2}\\
    x&=\frac{10\pm 2}{2}\\
    x=\frac{10-2}{2} &\vee x=\frac{10+2}{2}\\
    x=\frac{8}{2} &\vee x=\frac{12}{2}\\
    x=4 &\vee x=6\\ \\
    x^2-10x+24&=(x-6)(x-4)
    \end{align}

  • \begin{align}
    x^2-12x+35&=0\\
    x&=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\cdot 1\cdot 35}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{12\pm\sqrt{144-140}}{2}\\
    x&=\frac{12\pm\sqrt{4}}{2}\\
    x&=\frac{12\pm 2}{2}\\
    x=\frac{12- 2}{2} &\vee x=\frac{12+2}{2}\\
    x=\frac{10}{2} &\vee x=\frac{14}{2}\\
    x=5 &\vee x=7\\ \\
    x^2-12x+35&=(x-5)(x-7)
    \end{align}

Oppgave 5

  • \begin{align}
    x^2-14x+48&=0\\
    x&=\frac{-(-14)\pm\sqrt{(-14)^2-4\cdot 1\cdot 48}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{14\pm\sqrt{196-192}}{2}\\
    x&=\frac{14\pm\sqrt{4}}{2}\\
    x&=\frac{14\pm 2}{2}\\
    x=\frac{14- 2}{2} &\vee x=\frac{14+ 2}{2}\\
    x=\frac{12}{2} &\vee x=\frac{16}{2}\\
    x=6 &\vee x=8\\ \\
    x^2-14x+48&=(x-8)(x-6)
    \end{align}

  • \begin{align}
    x^2-16x+63&=0\\
    x&=\frac{-(-16)\pm\sqrt{(-16)^2-4\cdot 1\cdot 63}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{16\pm\sqrt{256-252}}{2}\\
    x&=\frac{16\pm\sqrt{4}}{2}\\
    x&=\frac{16\pm 2}{2}\\
    x=\frac{16- 2}{2} &\vee x=\frac{16+ 2}{2}\\
    x=\frac{14}{2} &\vee x=\frac{18}{2}\\
    x=7 &\vee x=9\\ \\
    x^2-16x+63&=(x-7)(x-9)
    \end{align}

  • \begin{align}
    x^2-10x+16&=0\\
    x&=\frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot 1\cdot 16}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{10\pm\sqrt{100-64}}{2}\\
    x&=\frac{10\pm\sqrt{36}}{2}\\
    x&=\frac{10\pm 6}{2}\\
    x=\frac{10- 6}{2} &\vee x=\frac{10+6}{2}\\
    x=\frac{4}{2} &\vee x=\frac{16}{2}\\
    x=2 &\vee x=8\\ \\
    x^2-10x+16&=(x-2)(x-8)
    \end{align}

  • \begin{align}
    x^2-12x+27&=0\\
    x&=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\cdot 1\cdot 27}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{12\pm\sqrt{144-108}}{2}\\
    x&=\frac{12\pm\sqrt{36}}{2}\\
    x&=\frac{12\pm 6}{2}\\
    x=\frac{12- 6}{2} &\vee x=\frac{12+ 6}{2}\\
    x=\frac{6}{2} &\vee x=\frac{18}{2}\\
    x=3 &\vee x=9\\ \\
    x^2-12x+27&=(x-9)(x-3)
    \end{align}

  • \begin{align}
    x^2-12x+20&=0\\
    x&=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\cdot 1\cdot 20}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{12\pm\sqrt{144-80}}{2}\\
    x&=\frac{12\pm\sqrt{64}}{2}\\
    x&=\frac{12\pm 8}{2}\\
    x=\frac{12-8}{2} &\vee x=\frac{12+ 8}{2}\\
    x=\frac{4}{2} &\vee x=\frac{20}{2}\\
    x=2 &\vee x=10\\ \\
    x^2-12x+20&=(x-2)(x-10)
    \end{align}

Oppgave 6