Likninger
Denne metoden er ikke nødvendig å kunne, alle 2.gradslikninger kan løses med abc-formelen.
MEN den kan spare deg for mye arbeid.
Legg merke til at $a=1$, dersom $a$ er noe annet enn 1 kan vi ikke bruke denne metoden.
Det er ikke alle 2.gradsuttrykk som kan faktoriseres med denne metoden, men veldig mange :)
Vi kan faktorisere 2.gradsuttrykket:
\begin{align}x^2+b\cdot x+c&=(x+p)(x+q)\end{align}
dersom vi kan finne verdier for $p$ og $q$ slik at
\begin{align}p+q=b \ &\vee \ p\cdot q=c\\
\end{align}
Så kan vi løse likningen med setningen
\begin{align}a\cdot b&=0\\
&\Downarrow \\
a=0 \ &\vee \ b=0
\end{align}
Oppgave 1
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2+ \color{red} 4
\color{blue} x+
\color{green}3
\color{blue} &=0\\
x² +
\color{red}{(3+1)}
\color{blue}x +
\color{green}(3\cdot 1)&=0\\
(x+3)(x+1)&=0\\
(x+3)=0 &\vee (x+1)=0\\
x=-3&\vee x=-1
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2\color{red}-\color{blue}x\color{green}-2&=0\\
x² +
\color{red}(-2+1)
\color{blue}x+
\color{green}((-2)\cdot 1)&=0\\
(x-2)(x+1)&=0\\
(x-2)=0 &\vee (x+1)=0\\
x=2 &\vee x=-1\\
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2+\color{red}9\color{blue}x+\color{green}20&=0\\
x² +
\color{red}(4+5)
\color{blue}x+
\color{green}(4\cdot 5)&=0\\
(x+4)(x+5)&=0\\
x+4=0 &\vee x+5=0\\
x=-4 &\vee x=-5
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2\color{red}-4\color{blue}x+\color{green}3&=0\\
x^2+
\color{red}(-3-1)
\color{blue}x+
\color{green}((-3)\cdot (-1))&=0\\
(x-3)(x-1)&=0\\
x-3=0 &\vee x-1=0\\
x=3 &\vee x=1
\end{align}
Oppgave 2
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2+6x+5&=0\\
x^2+(1+5)x+1\cdot 5&=0\\
(x+5)(x+1)&=0\\
(x+5)=0 &\vee (x+1)=0\\
x=-5 &\vee x=-1
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2+2x-8&=0\\
x² +(4-2) x+((-4)\cdot 2)&=0\\
(x-2)(x+4)&=0\\
x-2=0 &\vee x+4=0\\
x=2 &\vee x=-4
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2-9x-22&=0\\
x²+(-11+2)x+((-11)\cdot 2)&=0\\
(x-11)(x+2)&=0\\
x-11=0 &\vee x+2=0\\
x=11 &\vee x=-2
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2+3x-18&=0\\
x^2+(6-3)x+(-6\cdot (-3))&=0\\
(x+6)(x-3)&=0\\
x+6=0 &\vee x-3=0\\
x=-6 &\vee x=3
\end{align}
Oppgave 3
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2+3x+2&=(x+3)(x+2)\\
x²+(2+1) x+(2\cdot 1)&=0\\
(x+3)(x+2)&=0\\
x+3=0&\vee x+2=0\\
x=-3 &\vee x=-2
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2-2x-15&=(x-5)(x+3)\\
x²+(-5+3)x + ((-5)\cdot 3)&=0\\
(x-5)(x+3)&=0\\
x-5=0 &\vee x+2=0\\
x=5 &\vee x=-2
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2+2x-8 &=(x+4)(x-2)\\
x²+(4-2)x+(4\cdot (-2))&=0\\
(x+4)(x-2)&=0\\
x=-4 &\vee x=2
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2-x-2&=(x-2)(x+1)\\
x²+(-2+1)x+((-2)\cdot 1)&=0\\
(x-2)(x+1)&=0\\
x=2 &\vee x=-1
\end{align}
Oppgave 4
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2-2x-15&=(x-5)(x+3)\\
x^2+(-5+3)x+((-5)\cdot 3)&=0\\
(x-5)(x+3)&=0\\
x=5 &\vee x=-3
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2-9x-10&=(x-10)(x+1)\\
-10+1&=-9\\
(-10)\cdot 1&=-10
\end{align}\begin{align}
x^2-9x-10&=0\\
(x-10)(x+1)&=0\\
x=10 &\vee x=-1
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2+x-12=(x+4)(x-3)\\
x^2+(4-3)x+(4\cdot (-3))&=0\\
(x+4)(x-3)&=0\\
x=-4 &\vee x=3
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2+9x+8&=(x+8)(x+1)\\
x^2+(8+1)x+(8\cdot 1)&=0\\
(x+8)(x+1)&=0\\
x=-8 &\vee x=-1
\end{align}
Oppgave 5
Noen ganger kan vi bruke denne metoden selv om ikke $a=1$, men da må vi faktorisere uttrykket først, slik at vi får $a=1$.
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
2x^2+12x+10&=0\\
2(x^2+6x+5)&=0\\
2(x^2+(5+1)x+(5\cdot 1))&=0\\
2(x+5)(x+1)&=0\\
(x+5)=0 &\vee (x+1)=0\\
x=-5 &\vee x=-1
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
-x^2+x+2&=0\\
-(x²-x-2)&=0\\
-(x²+(-2+1)x+((-2)\cdot 1))&=0\\
-(x-2)(x+1)&=0\\
(x-2)=0 &\vee (x+1)=0\\
x=2 &\vee x=-1\\
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x+1&=0\\
\frac{1}{2}(x^2+3x+2)&=0\\
\frac{1}{2}(x+1)(x+2)\\
\frac{1}{2}(x^2+3x+2)&=0\\
\frac{1}{2}(x+1)(x+2)&=0\\
x=-1 &\vee x=-2
\end{align}