$$a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$$

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$

Oppgave 1

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+4x+3&=0\\
    x&=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}\\
    &=\frac{-4\pm\sqrt{16-12}}{2}\\
    &=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{2}\\
    &=\frac{-4\pm 2}{2}\\
    x=\frac{-4 + 2}{2} &\vee x=\frac{-4 - 2}{2}\\
    x=\frac{-2}{2} &\vee x=\frac{-6}{2}\\
    x= -1 &\vee x=-3
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    -x^2+x+2=0\\
    x^2-x-2=0\\
    \end{align}

    \begin{align}
    x&=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot a}\\
    x&=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}\\
    x&=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}\\
    x&=\frac{1\pm 3}{2}\\
    x=\frac{1+3}{2}&\vee x=\frac{1-3}{2}\\
    x=2 &\vee x=-1
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2-9x+20=0
    x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}\\
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2-9x+20=0
    x&=\frac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot 1\cdot 20}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{9\pm \sqrt{81-80}}{2}\\
    x&=\frac{9\pm 1}{2}\\
    x=\frac{9+1}{2}&\vee x=\frac{9-1}{2}\\
    x=\frac{10}{2} &\vee x=\frac{8}{2}\\
    x=5 &\vee x=4
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2-4x+3=0
    x&=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}\\
    x&=\frac{4\pm 2}{2}\\
    x=\frac{4+2}{2}&\vee x=\frac{4-2}{2}\\
    x=\frac{6}{2} &\vee x=\frac{2}{2}\\
    x=3 &\vee x=1
    \end{align}

Oppgave 2

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    2x^2+12x+10&=0\\
    x^2+6x+5&=0\\
    x&=\frac{6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{6\pm \sqrt{36-20}}{2}\\
    x&=\frac{6\pm 4}{2}\\
    x=\frac{6+4}{2}&\vee x=\frac{6-4}{2}\\
    x=\frac{10}{2} &\vee x=\frac{2}{2}\\
    x=5 &\vee x=1
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    -x^2-2x+8&=0\\
    x^2+2x-8&=0\\
    x&=\frac{2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{2\pm \sqrt{4+32}}{2}\\
    x&=\frac{2\pm \sqrt{36}}{2}\\
    x&=\frac{2\pm 6}{2}\\
    x=\frac{2+6}{2}&\vee x=\frac{2-6}{2}\\
    x=\frac{8}{2} &\vee x=\frac{-4}{2}\\
    x=4 &\vee x=-2
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2-9x-22=0\\
    x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}\\
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2-9x-22=0\\
    x&=\frac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot 1\cdot (-22)}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{9\pm \sqrt{81+88}}{2}\\
    x&=\frac{9\pm 13}{2}\\
    x=\frac{9+13}{2}&\vee x=\frac{9-13}{2}\\
    x=\frac{22}{2} &\vee x=\frac{-4}{2}\\
    x=11 &\vee x=-2
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+3x-18&=0\\
    x&=\frac{3\pm\sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot (-18)}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{3\pm \sqrt{9+72}}{2}\\
    x&=\frac{3\pm \sqrt{81}}{2}\\
    x&=\frac{3\pm 9}{2}\\
    x=\frac{3+9}{2}&\vee x=\frac{3-9}{2}\\
    x=\frac{12}{2} &\vee x=\frac{-6}{2}\\
    x=6 &\vee x=-3
    \end{align}

Oppgave 3

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+3x+2&=0\\
    x&=\frac{3\pm\sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}\\
    x&=\frac{3\pm \sqrt{1}}{2}\\
    x&=\frac{3\pm 1}{2}\\
    x=\frac{3+1}{2}&\vee x=\frac{3-1}{2}\\
    x=\frac{4}{2} &\vee x=\frac{2}{2}\\
    x=2 &\vee x=1
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2-2x-15&=0
    \end{align}

    \begin{align}
    x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-15)}}{2\cdot 1}
    \end{align}

    \begin{align}
    x&=\frac{2\pm \sqrt{4+60}}{2}\\
    x&=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}\\
    x&=\frac{2\pm 8}{2}\\
    x=\frac{2+8}{2}&\vee x=\frac{2-8}{2}\\
    x=\frac{10}{2} &\vee x=\frac{-6}{2}\\
    x=5 &\vee x=-3
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+2x-8&=0\\
    x&=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}\\
    x&=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}\\
    x&=\frac{-2\pm 6}{2}\\
    x=\frac{-2+6}{2}&\vee x=\frac{-2-6}{2}\\
    x=\frac{4}{2} &\vee x=\frac{-8}{2}\\
    x=2 &\vee x=-4
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2-x-2&=0\\
    x&=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}\\
    x&=\frac{1\pm \sqrt{9}}{2}\\
    x&=\frac{1\pm 3}{2}\\
    x=\frac{1+3}{2}&\vee x=\frac{1-3}{2}\\
    x=\frac{4}{2} &\vee x=\frac{-2}{2}\\
    x=2 &\vee x=-1
    \end{align}

Oppgave 4

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+2x-15&=0\\
    x&=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-15)}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{-2\pm \sqrt{4+60}}{2}\\
    x&=\frac{-2\pm \sqrt{64}}{2}\\
    x&=\frac{-2\pm 8}{2}\\
    x=\frac{-2+8}{2}&\vee x=\frac{-2-8}{2}\\
    x=\frac{6}{2} &\vee x=\frac{-10}{2}\\
    x=3 &\vee x=-5
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2-9x-10&=0
    \end{align}

    \begin{align}
    x&=\frac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot 1\cdot (-10)}}{2\cdot 1}
    \end{align}

    \begin{align}
    x&=\frac{9\pm \sqrt{81+40}}{2}\\
    x&=\frac{9\pm \sqrt{121}}{2}\\
    x&=\frac{9\pm 11}{2}\\
    x=\frac{9+11}{2}&\vee x=\frac{9-11}{2}\\
    x=\frac{20}{2} &\vee x=\frac{-2}{2}\\
    x=10 &\vee x=-1
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+x-12&=0\\
    x&=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-12)}}{2\cdot 1}\\
    x&=\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}\\
    x&=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}\\
    x&=\frac{-1\pm 7}{2}\\
    x=\frac{-1+7}{2}&\vee x=\frac{-1-7}{2}\\
    x=\frac{6}{2} &\vee x=\frac{-8}{2}\\
    x=3 &\vee x=-4
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+9x+8&=0
    \end{align}

    \begin{align}
    x&=\frac{-9\pm\sqrt{9^2-4\cdot 1\cdot 8}}{2\cdot 1}
    \end{align}

    \begin{align}
    x&=\frac{-9\pm \sqrt{81-32}}{2}\\
    x&=\frac{-9\pm \sqrt{49}}{2}\\
    x&=\frac{-9\pm 7}{2}\\
    x=\frac{-9+7}{2}&\vee x=\frac{-9-7}{2}\\
    x=\frac{-2}{2} &\vee x=\frac{-16}{2}\\
    x=-1 &\vee x=-8
    \end{align}