Andregradslikninger
Oppgave 1
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2-4x&=5\\
x^2-4x-5&=0\\
x&=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1}\\
x&=\frac{4\pm\sqrt{16+20}}{2}\\
x&=\frac{4\pm\sqrt{36}}{2}\\
x&=\frac{4\pm 6}{2}\\
x=\frac{4+6}{2} &\vee x=\frac{4-6}{2}\\
x=\frac{10}{2} &\vee x=\frac{-2}{2}\\
x=5 &\vee x=-1
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2+8x+15&=0\\
x&=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4\cdot 1\cdot 15}}{2\cdot 1}\\
x&=\frac{-8\pm\sqrt{64-60}}{2}\\
x&=\frac{-8\pm\sqrt{4}}{2}\\
x&=\frac{-8\pm 2}{2}\\
x=\frac{-8+2}{2} &\vee x=\frac{-8-2}{2}\\
x=\frac{-6}{2} &\vee x=\frac{-10}{2}\\
x=-3 &\vee x=-5
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2-6&=2x\\
x^2-2x-6&=0\\
x&=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}\\
x&=\frac{2\pm\sqrt{4+24}}{2}\\
x&=\frac{2\pm\sqrt{28}}{2}\\
x&=\frac{2\pm\sqrt{4\cdot 7}}{2}\\
x&=\frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2}\\
x&=\frac{2(1 \pm \sqrt{7})}{2}\\
x&=1\pm\sqrt{7}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2-3x-4&=0\\
x&=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}\\
x&=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}\\
x&=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}\\
x&=\frac{3\pm 5}{2}\\
x=\frac{3+5}{2} &\vee x=\frac{3-5}{2}\\
x=\frac{8}{2} &\vee x=\frac{-2}{2}\\
x=4 &\vee x=-1
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
3x^2+6x+3&=0\\
3(x^2+2x+1)&=0\\
3(x+1)^2&=0\\
x&=-1
\end{align}
Oppgave 2
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
2x^2-4x+2&=0\\
2(x^2-2x+1)&=0\\
2(x-1)^2&=0\\
x&=1
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2-7x+12&=0\\
x&=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2\cdot 1}\\
x&=\frac{7\pm\sqrt{49-48}}{2}\\
x&=\frac{7\pm 1}{2}\\
x=\frac{7+1}{2} &\vee x=\frac{7-1}{2}\\
x=\frac{8}{2} &\vee x=\frac{6}{2}\\
x=4 &\vee x=3
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
3x^2-4x+1&=0\\
x&=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 3}\\
x&=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{6}\\
x&=\frac{4\pm\sqrt{4}}{6}\\
x&=\frac{4\pm 2}{6}\\
x=\frac{4+2}{6} &\vee x=\frac{4-2}{6}\\
x=\frac{6}{6} &\vee x=\frac{2}{6}\\
x=1 &\vee x=\frac{1}{3}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2-6x+9&=0\\
x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2&=0\\
(x-3)^2&=0\\
x&=3
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
-2x^2+6x+20&=0\\
-2(x^2-3x-10)&=0\\
x&=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-10)}}{2\cdot 1}\\
x&=\frac{3\pm\sqrt{9+40}}{2}\\
x&=\frac{3\pm\sqrt{49}}{2}\\
x&=\frac{3\pm 7}{2}\\
x= \frac{3+7}{2} &\vee x=\frac{3-7}{2}\\
x=\frac{10}{2} &\vee x=\frac{-4}{2}\\
x=5 &\vee x=-2
\end{align}
Oppgave 3
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2-\frac{5}{2}x+1&=0\\
2x^2-5x+2&=0\\
x&=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2}}{2\cdot 2}\\
x&=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{4}\\
x&=\frac{5\pm\sqrt{9}}{4}\\
x&=\frac{5\pm 3}{4}\\
x=\frac{5+3}{4} &\vee x=\frac{5-3}{4}\\
x=\frac{8}{4} &\vee x=\frac{2}{4}\\
x=4 &\vee x=\frac{1}{2}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2+4x+4&=0\\
(x+2)^2&=0\\
x+2&=0\\
x&=-2
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
-x^2+2x-2&=0\\
x&=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot (-1)\cdot (-2)}}{2\cdot (-1)}\\
x&=\frac{-2\pm\sqrt{4-8}}{-2}\\
x&=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{-2}\\
\end{align}
Negativ verdi under rottegnet, altså ingen løsning.
Oppgave 4
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align}
Oppgave 5
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag 1:
\begin{align}
9x^2&=1\\
(3x)^2-1^2&=0\\
(3x+1)(3x-1)&=0\\
3x=-1 &\vee 3x=1\\
x=-\frac{1}{3} &\vee x=\frac{1}{3}
\end{align}Løsningsforslag 2:
\begin{align}
9x^2&=1\\
x^2&=\frac{1}{9}\\
x&=\pm\sqrt{\frac{1}{9}}\\
x=-\frac{1}{3} &\vee x=\frac{1}{3}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2-81 &=0\\
x^2-9^2 &=0\\
(x-9)(x+9)&=0\\
x=9 &\vee x=-9
\end{align}
Oppgave 6
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
25x^2-49&=0\\
(5x)^2-7^2&=0\\
(5x+7)(5x-7)&=0\\
5x+7=0 &\vee 5x-7=0\\
x=-\frac{7}{5} &\vee x=\frac{7}{5}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
1-2x^2&=4x\\
2x^2+4x-1&=0\\
x&=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2\cdot 2}\\
x&=\frac{}{4}\\
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2&=25\\
\sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{25}\\
x&=\pm 5\\
x=-5 &\vee x=5
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
x^2-25x&=0\\
x(x-25)&=0\\
x=0 &\vee x-25=0\\
x=0 &\vee x=25
\end{align} -
Løsningsforslag 1 :
\begin{align}
(5-x)^2&=25\\
\sqrt{(5-x)^2}&=\pm \sqrt{25}\\
5-x&=\pm 5\\
5-x=5 &\vee 5-x=-5\\
x=0 &\vee x=10
\end{align}Løsningsforslag 1 :
\begin{align}
(5-x)^2&=25\\
(5-x)^2-5^2&=0\\
(5-x+5)(5-x-5)&=0\\
(10-x)(-x)&=0\\
10-x=0 &\vee -x=0\\
x=10 &\vee x=0
\end{align}
Oppgave 7
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align}
Oppgave 8
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\end{align}