Denne metoden er ikke nødvendig å kunne, alle 2.gradslikninger kan løses med abc-formelen.
MEN den kan spare deg for mye arbeid.

Legg merke til at $a=1$, dersom $a$ er noe annet enn 1 kan vi ikke bruke denne metoden.

Det er ikke alle 2.gradsuttrykk som kan faktoriseres med denne metoden, men veldig mange :)

Vi kan faktorisere 2.gradsuttrykket:

\begin{align}x^2+b\cdot x+c&=(x+p)(x+q)\end{align}

dersom vi kan finne verdier for $p$ og $q$ slik at

\begin{align}p+q=b \ &\vee \ p\cdot q=c\\
\end{align}

Så kan vi løse likningen med setningen
\begin{align}a\cdot b&=0\\
&\Downarrow \\
a=0 \ &\vee \ b=0
\end{align}

Oppgave 1

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}x^2+4x+3&=(x+3)(x+1)\\
    \text{fordi }\\
    3+1&=4\\
    3\cdot 1&=3\\
    —&—\\
    x^2+4x+3&=0\\
    (x+3)(x+1)&=0\\
    (x+3)=0 &\vee (x+1)=0\\
    x=-3&\vee x=-1
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2-x-2\\
    &=-(x-2)(x+1)\\
    \text{fordi }
    -2+1&=-1\\
    (-2)\cdot 1&=-2\\
    —&—\\
    x^2-x-2&=0\\
    (x-2)(x+1)&=0\\
    x=2 &\vee x=-1\\
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}x^2+9x+20&=(x+4)(x+5)\\
    \text{fordi: }\\
    4+5&=9\\
    4\cdot 5&=20\\
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2+9x+20&=0\\
    (x+4)(x+5)&=0\\
    x+4=0 &\vee x+5=0\\
    x=-4 &\vee x=-5
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}x^2-4x+3&=(x-3)(x-1)\\
    \text{fordi: }\\
    -3-1&=-4\\
    (-3)\cdot (-1)&=3\\
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2+9x+20&=0\\
    (x-3)(x-1)&=0\\
    x-3=0 &\vee x-1=0\\
    x=3 &\vee x=1
    \end{align}

Oppgave 2

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+6x+5\\
    &=(x+5)(x+1)\\
    \text{fordi }&:\\
    5+1&=6\\
    5\cdot 1 &=5\\
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2+6x+5=0\\
    (x+5)(x+1)&=0\\
    x=-5 &\vee x=-1
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+2x-8\\
    &=(x+2)(x-8)\\
    \text{fordi }&:\\
    4-2&=2\\
    4\cdot (-2)&=-8
    \end{align}

    \begin{align}
    (x+2)(x-8)&=0\\
    x+2=0 &\vee x-8=0\\
    x=-2 &\vee x=8
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2-9x-22=(x-11)(x+2)\\
    -11+2&=-9\\
    (-11)\cdot 2&=-22\\
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2-9x-22&=0\\
    (x-11)(x+2)&=0\\
    x-11=0 &\vee x+2=0\\
    x=11 &\vee x=-2
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+3x-18&=(x+6)(x-3)\\
    6-3&=3\\
    6\cdot(-3)&=-18
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2+3x-18&=0\\
    (x+6)(x-3)&=0\\
    x+6=0 &\vee x-3=0\\
    x=-6 &\vee x=3
    \end{align}

Oppgave 3

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+3x+2&=(x+3)(x+2)\\
    2+1&=3\\
    2\cdot 1&=2
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2+3x+2&=0\\
    (x+3)(x+2)&=0\\
    x+3=0&\vee x+2=0\\
    x=-3 &\vee x=-2
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2-2x-15&=(x-5)(x+3)\\
    -5+3&=-2\\
    (-5)\cdot 3&=-15
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2-2x-15&=0\\
    (x-5)(x+3)&=0\\
    x-5=0 &\vee x+2=0\\
    x=5 &\vee x=-2
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+2x-8 &=(x+4)(x-2)\\
    4-2&=2\\
    4\cdot (-2)&=-8
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2+2x-8 &=0\\
    (x+4)(x-2)&=0\\
    x=-4 &\vee x=2
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2-x-2&=(x-2)(x+1)\\
    -2+1&=-1\\
    (-2)\cdot 1&=-2
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2-x-2&=0\\
    (x-2)(x+1)&=0\\
    x=2 &\vee x=-1
    \end{align}

Oppgave 4

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2-2x-15&=(x-5)(x+3)\\
    -5+3&=-2\\
    (-5)\cdot 3&=-15
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2-2x-15&=0\\
    (x-5)(x+3)&=0\\
    x=5 &\vee x=-3
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2-9x-10&=(x-10)(x+1)\\
    -10+1&=-9\\
    (-10)\cdot 1&=-10
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2-9x-10&=0\\
    (x-10)(x+1)&=0\\
    x=10 &\vee x=-1
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+x-12=(x+4)(x-3)\\
    4-3&=1\\
    4\cdot (-3)&=-12
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2+x-12&=0\\
    (x+4)(x-3)&=0\\
    x=-4 &\vee x=3
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    x^2+9x+8&=(x+8)(x+1)\\
    8+1&=9\\
    8\cdot 1&=8
    \end{align}

    \begin{align}
    x^2+9x+8&=0\\
    (x+8)(x+1)&=0\\
    x=-8 &\vee x=-1
    \end{align}

Oppgave 5

Noen ganger kan vi bruke denne metoden selv om ikke $a=1$, men da må vi faktorisere uttrykket først, slik at vi får $a=1$.

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    2x^2+12x+10&=2(x^2+6x+5)\\
    &=2(x+5)(x+1)\\
    \text{fordi }&:\\
    5+1&=6\\
    5\cdot 1 &=5\\
    \end{align}

    \begin{align}
    2x^2+12x+10=0\\
    2(x+5)(x+1)&=0\\
    x=-5 &\vee x=-1
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    -x^2+x+2&=-(x^2-x-2)\\
    &=-(x-2)(x+1)\\
    \text{fordi }
    -2+1&=-1\\
    (-2)\cdot 1&=-2\\
    —&—\\
    -x^2+x+2&=0\\
    -(x^2-x-2)&=0\\
    -(x-2)(x+1)&=0\\
    x=2 &\vee x=-1\\
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}x+1&=
    \frac{1}{2}(x^2+3x+2)\\
    &=\frac{1}{2}(x+1)(x+2)\\
    \text{fordi }&:\\
    1+2&=3\\
    1\cdot 2 &=2\\
    \end{align}

    \begin{align}
    \frac{1}{2}(x^2+3x+2)&=0\\
    \frac{1}{2}(x+1)(x+2)&=0\\
    x=-1 &\vee x=-2
    \end{align}