Andregradsfunksjoner
Tangenten til en funksjon i et punkt, har stigningstall lik den deriverte i punktet. Altså er stigningstallet lik den momentane veksten i punktet.
Vi kan finne likningen til tangenten ved å bruke ettpunktsformelen
$$y-y_{1}=f’(a)(x-x_{2})$$Vi kan også finne likgningen til tangenten på denne måten
- generelt uttrykk for likningen til tangenten : $y=ax+b$
- vi setter inn stigningstallet : $f’(a)$
- setter inn punktet : (a,f(a))
$$f(a)=f’(a)(x-a)$$
Oppgave 1
Vi har gitt funksjonen $f(x)=x^2-4x+1$
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
f(x)&=x^2-4x+1\\
f’(x)&=2x - 4\\
f(-2)&=(-2)^2-4\cdot(-2)+1\\
&=4+8+1=13\\
(x,y)&=(-2,13)\\
f’(-2)&=2(-2)-4=-4-4=-8\\
y-13&=-8(x-(-2))\\
y&=-8x-16+13\\
&=-8x-3
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
f(x)&=x^2-4x+1\\
f’(x)&=2x - 4\\
f(1)&=1^2-4\cdot 1+1\\
&=1-4+1=-4\\
(x,y)&=(1,-4)\\
f’(1)&=2\cdot 1-4=2-4=—2\\
y-(-4)&=-2(x-1)\\
y&=-2x+2-4\\
&=-2x-2
\end{align} -
Løsningsforslag:
Oppgave 2
Vi har gitt funksjonen $f(x)=2x^2+4x-8$
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
f(x)&=2x^2+4x-8\\
&=2(x^2+2x-4)\\
f(-2)&=2(-2)^2+4(-2)-8\\
&=8-8-8=-8\\
(x,y)&=(-2,-8)\\
f’(x)&=4x+4=4(x+1)\\
f’(-2)&=4(-2+1)=-4\\
y-(-8)&=-4(x-(-2))\\
y+8 &=-4(x+2)\\
y&=-4x-8-8\\
y&=-4x-16
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
f(x)&=2x^2+4x-8\\
f(0)&=-8\\
(x,y)&=(0,-8)\\
f’(x)&=4x+4=4(x+1)\\
f’(0)&=4\\
y+8&=4(x-0)\\
y&=4x-8
\end{align} -
Løsningsforslag:
Oppgave 3
Vi skal finne likningen til tangenten til $f(x)=x^2+6x+8$
-
Løsningsforslag 1:
\begin{align}
f(x)&=x^2+6 x+8\\
f(-2)&=(-2)^2+6\cdot (-2)+8\\
&=4-12+8=0\\
(x,y)&=(-2,0)\\
f’(x)&=2x+6\\
f’(-2)&=2\cdot (-2)+6\\
&=-4+6=2\\
y-0&=2(x-(-2))\\
y&=2x+4
\end{align}Løsningsforslag 2:
Stigningstall $a=2$\\
Kjent punkt: $(-2,0)$\begin{align}
y&=a\cdot x+b\\
y&=2 x+b\\
0&=2\cdot(-2)+b\\
b&=4\\
y&=2x+4\\
\end{align} -
Løsningsforslag 1:
\begin{align}
f(x)&=x^2+6 x+8\\
f(2)&=2^2+6\cdot 2+8\\
&=4+12+8=24\\
(x,y)&=(2,24)\\
f’(x)&=2x+6\\
f’(2)&=2\cdot 2+6\\
&=4+6=8\\
y-0&=2(x-2)\\
y&=2x-4
\end{align} -
Løsningsforslag:
Oppgave 4
Finn ekstremalpunktene og vendepunkt til funksjonene og skisserer grafen.
$$f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+8x+2$$
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
f(x)&=-\frac{1}{3}x^3+x^2+8x+2\\
f’(x)&= -x^2+2x+8\\
f’(x)&=0\\
-x^2+2x+8&=0\\
x^2-2x-8&=0\\
(x-4)(x+2)&=0\\
x=4 &\vee x=-2\\
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
f’(x)&= -x^2+2x+8\\
f’’(x)&=-2x+2\\
f’’(x)&=0\\
-2x+2&=0\\.
x&=1\\
f(1)&=-\frac{1}{3}+1+8+2=\frac{34}{3}
\end{align}
Vendepunkt $(1,\frac{34}{3})$ -
Løsningsforslag:
\begin{align}
f(x)&=-\frac{1}{3}x^3+x^2+8x+2\\
f(0)&=2\\
f’(x)&= -x^2+2x+8\\
f’(0)&=8\\
y-2&=8(x-0)\\
v&=8x+2
\end{align}
Oppgave 5
Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon $f$ sammen med tangenten $t$ til grafen i punktet $(2,f(2))$.
-
Løsningsforslag:
Vi ser på figuren at grafen krysser y-aksen i y=4, det betyr at $f(0)=4$.
-
Løsningsforslag:
Vi ser av grafen at den krysser x-aksen når x=4, da er $f(4)=0$
-
Løsningsforslag:
Vi ser på figuren at tangeringspunktet er $(2,4)$.
Skjæringspunktene mellom $t$ og aksene er $(6,0)$ og $(0,6)$, da blir stigningstallet til linjen $a=\frac{0-6}{6-0}=-1$.
Likningen til tangenten blir da :
\begin{align}
y&=-x+b\\
4&=-2+b\\
b&=6\\
y&=-x+6
\end{align} -
Løsningsforslag:
Vi ser på grafen at når $x=1$ er vi på toppunktet, da blir $f’(1)=0$.
Når $x=2$ er vi i tangeringspunktet, da er veksten $a=-1$, altså er $f’(2)=-1$.
-
Løsningsforslag:
Vi leser av nullpunktene og setter inn de i det generelle uttrykket for 2.gradsfunksjon:
\begin{align}
f(x)&=a(x-(-2))(x-4)\\
&=a(x+2)(x-4)\\
&=a(x^2-2x-8)\\
\end{align}Grafen krysser y-aksen i $y=4$, det vil si at vi må finne den verdien av $a$ som gir 4 som konstantledd.
\begin{align}
a\cdot (-8)&=4\\
a&=-\frac{1}{2}
\end{align}
Oppgave 6
Vi har gitt funksjonen $f(x)=-x^2+2x+5$.
-
Løsningsforslag
\begin{align*}
f(x) &= -x^2+2x+5\\
f'(x) &=-2x+2\\ \\
f(2) &= -2^2+2\cdot 2+5\\
&= -4+4+5=5\\
f'(2) &=-2\cdot 2+2 = -4+2=-2\\
y-y_0&=a(x-x_0)\\
y-5&=-2(x-2)\\
y&=-2x+4+5\\
y&=-2x+9\\ \\f(-3)&=-(-3)^2+2\cdot (-3)+5\\
&=-9-6+5=-10\\
f'(-3)&=-2\cdot(-3)+2=6+2=8\\
y-(-10)&=8(x-(-3))\\
y+10&=8x+24\\
y&=8x+24-10\\
y&=8x+14\\
\end{align*} -
Løsningsforslag:
\begin{align*}
f(x) &= -x^2+2x+5\\
f'(x) &=-2x+2\\ \\
f(-3) &= -(-3)^2+2\cdot (-3)+5\\
&= -9-6+5=-10\\
f'(-3) &=-2\cdot (-3)+2 = 6+2=8\\
y-y_0&=a(x-x_0)\\
y-(-10)&=8(x-(-3))\\
y&=8x+24-10\\
y&=8x+14\\
\end{align*}