Polynomfunksjoner
Oppgave 1
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$f(x)=6x-x^2 \ , \ x\in[0,6]$$
Her har vi tegnet grafen til $f$ sammen med rektangelet $ABCD$.
I rektangelet er $A(a,0)$ og $D(a,f(a))$, der $a\in\big<0,3\big>$. Punktet $C$ ligger på grafen til $f$.
Bestem den eksakte verdien til $a$ som gjør at rektangelet får største mulig areal.
-
Finner først nullpunktene til $f(x)$:
\begin{align*}
f(x)&=0\\6x-x^2&=0\\x(6-x)&=0\\x=0 &\vee x=6
\end{align*}Punktet $B$ er symmetrisk med punktet $A(a,0)$, altså er avstanden fra B til det andre nullpunktet $a$.
Koordinatene til $B(6-a,0)$Finner y-koordinatene til $C$ og $D$
\begin{align*}
f(a)&=f(6-a)\\&=6a-a^2
\end{align*}$D(a, 6a-a^2)$ og $C(6-a, 6a-a^2)$
Da får vi at grunnlinjen AB : $g=(6-a)-a=6-2a$
Høyden AD : $h=f(a)=6a-a^2$
Areal av rektangelet regnet for hånd (se nedenfor for utregning med geogebra):
\begin{align*}F (a) &=g\cdot h\\&=(6-2a)(6a-a^2)\\&=36a-6a^2-12a^2+2a^3\\&=2a^3-18a^2+36a\\&=2a(a^2-9a+4)\\F'(a) &=6a^2-36a+36\\&=6(a^2-6a+6)\\F'(a) &=0\\a^2-3a+3 &=0\\a &=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\\&=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}\\&=3\pm \sqrt{3}\\F(3-\sqrt{3})&=12\sqrt{3}\\(\text{se linje 7-8})\end{align*}
$3+\sqrt{3}$ er ikke en løsning fordi dette er utenfor definisjonsområdet til $a$, $a\in\big<0,3\big>$
Arealet er størst når $a=3-\sqrt{3}$, da er arealet $F=12\sqrt{3}$
Oppgave 2
Her har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ gitt ved $$f(x)=\frac{8}{x^2+4} \ , \ x>0$$
Punktene $A, \ B, \ C$ og $D$ danner et rektangel. Punktet $C$ ligger på grafen til $f$, og punktet $D$ ligger på y-aksen. Punktet $B$ har x-koordinat $t$. Punktet $A$ ligger i origo.
Bestem $t$ slik at arealet til rektangelet $ABCD$ blir størst mulig.
-
Bredden til rektangelet er $b=t$
Høyden $h=f(t)$,altså er arealet $F(t)=t\cdot f(t)$
størst areal finner vi når $F’(t)=0$
Arealet til rektangelet blir størst når $t=2$.
$t=-2$ er utenfor definisjonsområdet.
Oppgave 3
Funksjonen $f$ er gitt ved $$f(x)=\frac{5}{x^2+4}$$
Et rektangel $ABCD$ er gitt ved $A(-t,0)$, $B(t,0)$ og at punktene $C$ og $D$ ligger på grafen til $f$, slik figuren nedenfor viser. Her er $t>0.$
Hva er det største arealet rektangelet kan ha?
-
Grunnlinjen til rektangelet er : $2t$
Høyden til rektangelet er : $f(t)$
Arealet er størst når $t=2$, da er arealet $F(2)=\frac{5}{2}$
Oppgave 4
Terje skal lage en grøft som han skal legge et rør i. Grøften skal starte i punktet $A$ ved en rettlinjet vei og ende ved en hytte i punktet $D$, slik figuren nedenfor viser. Avstanden fra $D$ til punktet $C$ på veien er 20 meter. Punktet $C$ er 120 meter fra $A$.
Et firma tar 800 kroner per meter for å lage grøft langs veien og 1500 kroner per meter for å lage grøft i terrenget. De graver grøften fra $A$ til et punkt $B$ langs veien. Så går de rett mot hytta fra $B$ til $D$.
Sett $BC=x$ meter.
1) Vis at prisen som Terje må betale for grøften, er gitt ved $$P(x)=96000-800x+1500\sqrt{x^2+400}$$
2) Hvor må Terje sette punktet $B$ for at prisen for grøften skal bli lavest mulig? Hva er da prisen?
3) Et annet firma oppgir andre priser for å lage grøften. De tar 1000 kroner per meter for å lage grøften langs veien. I et tilbud oppgir de at den billigste løsningen er å plassere $B$ 10 meter fra $C$. Hvor mye tar dette firmaet per meter for å lage grøft i terrenget?
-
Langs veien : $(120-x) $ meter
I terrenget :
Avstanden fra B til D finner vi med Pythagoras: $BD=\sqrt{x^2+20^2}$ meter.Total pris blir da :
(120 -x) meter langs vei til 800 kr/m
+ BD meter til 1500 kr/m\begin{align*}P(x)&=(120-x)\cdot 800+\sqrt{x^2+20^2}\cdot 1500\\&=9600-800x+1500\sqrt{x^2+400}\\&\text{som skulle vises }\end{align*}
-
Vi finner punktet som gir lavest pris ved å derivere funksjonen
Den laveste prisen får vi dersom punktet B plasseres $x=12,6 $ meter fra punkt C.
Prisen er da $P(12,6)=121377$ kroner -
$$Q(x)=(120-x)\cdot 1000+\sqrt{x^2+20^2}\cdot a$$
Altså er prisen for grøft i terreng $\text{kr. } 2.236,-$
Oppgave 5
En funksjon $f$ er gitt ved $$f(x)=1-x^2 \ , \ D_f=[0,1]$$
La $a\in \big<0,1\big>$ og $O$ være origo. Tangenten til grafen til $f$ i punktet $P(a,f(a))$ skjærer x-aksen i punktet $A$ og y-aksen i punktet $B$ som vist på figuren.
1) Bestem arealet av $\triangle OAB$ når $P=\big(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\big)$
2) Bestem det minste arealet $\triangle OAB$ kan ha..
-
-
Gjør samme som i a) men med det generelle punktet $(a,f(a))$
Finner et generelt uttrykk for arealet, se linje 11.
Deriverer og setter lik null, da blir x-verdien $x=0.66$, som gir at det minste arealet er $1F_2(0.66)=0.31$
Oppgave 6
En funksjon $g$ er gitt ved $$g(x)=x^3-3x^2-13x+15$$
Et punkt $P(s,g(s))$ ligger på grafen til $g$, der $s\in\big<1,5\big>$.
Punktene $A(1,0)$, $B(s,0)$ og $P(s,g(s))$ danner en trekant $ABP$.
Bestem den eksakte verdien som gir det største arealet til trekanten. Hvor stort er dette arealet?
-
Definerer fuksjonen og punktene.
Linje 5-6 : Definerer bredde og høyde på trekanten.
Linje 7 : Berergner arealet til trekanten
Arealet er $\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$\\
Bruker absoluttverdi på høyden fordi den blir negativ, vi trenger bare lengden.
Linje 8-11 : Finner for hvilken verdi arealet er størst.
Den første løsningen er utenfor definisjonsområdet til $s$.
Arealet er størst når $s=3.83$, da er arealet $32$.
Oppgave 7
En produsent skal lage en rett, lukket sylinder. Høyden $h$ og diameteren $d$ kan variere, men $d+h=6$. Vi setter radius i sylinderen lik $x$. Volumet av sylinderen da kan skrives som
$$V(x)=6\pi x^2-2\pi x^3$$
Vis at i denne oppgaven må $x\in\big<0,3\big>$. Bruk $V(x)$ til å vise at det største volumet sylinderen kan få, er nøyaktig lik $8\pi$.
-
\begin{align*}d+h&=6\\2x+h&=6\\ h&=6-2x\\V&=G\cdot h\\V(x) &=\pi x^2\cdot (6-2x)\\&= 6\pi x^2-2\pi x^3\end{align*}
For å få en sylinder må radius og høyde være større enn null.
Det gir $x>0$ og $h>0$.
$h>0 \Rightarrow 6-2x>0 \Rightarrow 2x<6 \Rightarrow x<3$
Vi må altså ha $x\in\big<0,3\big>$
Jeg definerer først volumfunksjonen i GeoGebra (linje 1).
Jeg finner toppunktet til volumfunksjonen der den deriverte funksjonen er lik null forutsatt at den deriverte er positiv, grafen stiger, til venstre for punktet og den deriverte er negativ til høyre for punktet (linje 2,3 og 4).
Jeg kan ikke bruke løsningen $x=0$ fordi denne løsningen ligger utenfor definisjonsområdet.
Sylinderen får sitt største volum når $x=2$.
Linje 5 viser at det største volumet sylinderen kan få er $8\pi$, som vi skulle vise.
Oppgave 8
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$f(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2 \ , \ 0<x<4$$
Under grafen til $f$ er det tegnet inn et rektangel $OBCD$, slik som figuren nedenfor viser.
1) Vis at arealet til rektangelet er gitt ved $$A(x)=\frac{1}{2}x^3-4x^2+8x \ , \ 0<x<4$$
2) Bruk CAS til å bestemme $x$ slik at arealet til rektangelet blir $4$.
3) Bruk CAS til å bestemme $x$ slik at arealet til rektangelet blir størst mulig og hva er det største arealet rektangelet kan ha?
-
Arealet er lengde $x$ multiplisert med bredde $f(x)$.
Vi får
\begin{align*}A(x) &= x\cdot f(x)\\&=x\cdot \frac{1}{2}(x-4)^2\\&=\frac{x}{2}(x^2-8x+16)\\&=\frac{1}{2}x^3-4x^2+8x\end{align*}
$A(x)$ må ha de samme begrensningene som $f(x)$, dvs. $0<x<4$
-
Den siste løsningen er utenfor definisjonsområdet.
Arealet er 4 når $x=3-\sqrt{5}$ eller $x=2$
-
Dobbelderiverttesten viser at $x=\frac{4}{3}$ er et toppunkt.
Det største arealet er $\frac{128}{27}\approx 4,7$ når $x=\frac{4}{3}$
Oppgave 9
Figuren viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$f(x)=6-\frac{1}{2}x^2 \ , \ D_f=\mathbb{R}$$
Under grafen og over x-aksen er det skrevet inn et rektangel $ABCD$ slik figuren viser. Punktene $A$ og $B$ ligger på x-aksen, og $C$ og $D$ ligger på grafen. Punktet $B$ har førstekoordinaten $x$ , der $x>0$ .
1) Forklar at arealet $F$ av rektangelet kan skrives som en funksjon av $x$ gitt ved $$F(x)=12x-x^3$$
Bestem $D_f$.
2) Det fins to verdier av $x$ som gjør at arealet av rektangelet blir lik $9$. Bestem disse to verdiene.
3) Bestem den verdien av $x$ som gjør at arealet av rektangelet blir størst mulig. Hva blir det største arealet?
4) Bestem et uttrykk for omkretsen av rektangelet. Bestem den verdien av $x$ som gjør at omkretsen av rektangelet blir størst mulig. Kommenter svaret.
-
Grunnlinjen $AB=2x$ siden $f$ er symmetrisk om y-aksen. Høyden $BC=f(x)$ siden punktet $C=(x,f(x))$ .
Arealet av rektangelet er derfor:
$$F(x)=2x\cdot f(x)=2x\cdot (6-\frac{1}{2}x^2)=12x-x^3$$
For å få et rektangel som beskrevet, må punktet $B$ ligge til venstre for $f$ sitt positive nullpunkt.
Jeg setter $f(x)=0 \Rightarrow 6-\frac{1}{2}x^2=0 \Rightarrow x^2=12 \Rightarrow x=\pm 2\sqrt{3}$
Det betyr at $D_F=\big<0 , 2\sqrt{3}\big>$
-
Vi løser likningen $F(x)=9$ i GeoGebra.
Arealet av rektangelet blir lik 9 når $x=0,79$ eller $x=3$
-
Jeg setter den deriverte til arealfunksjonen lik null og finner at det finnes kun én verdi for $x$ i definisjonsområdet som gir en ekstremalverdi. Det er for $x=2$.
Siden $F(2)$ er større enn en tilfeldig annen arealverdi i definisjonsområdet, må $F(2)=16$ være det største arealet.
-
Jeg kaller omkretsen til rektangelet for $O(x)$ .
\begin{align*}O(x)&=AB\cdot 2+BC\cdot 2\\&=2x\cdot 2+f(x)\cdot 2\\&=4x+(6-\frac{1}{2}x^2)\cdot 2\\&=4x+12-x^2\\&=-x^2+4x+12 \end{align*}
Vi bruker samme metode på $O(x)$ som på $f(x)$ i oppgave 3).
Omkretsen blir størst mulig når $x=2$
Dette er den samme verdien for $x$ som også gjør arealet størst mulig. Rektangelet er da et kvadrat med side 4 fordi $AB=2x=2\cdot 2=4$ og $BC=f(2)=6-\frac{1}{2}\cdot 2^2=6-2=4$
Oppgave 10
En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per dag. Fortjenesten $F$ per enhet (målt i kroner) er gitt ved
$$F(x)=-0,01x^2+0,3x+120$$
1) Hvor mange enheter må bedriften produsere for at fortjenesten per enhet skal bli størst mulig?
2) Forklar at overskuddet $O$ til bedriften per dag er gitt ved $$O(x)=x\cdot F(x)$$
3) Bestem den produksjonsmengden som gjør overskuddet størst mulig.. Hvor stort er overskuddet da?
-
Vi tegner grafen i GeoGebra og finner toppunkt med kommandoen «Ekstremalpunkt»
Bedriften må produsere 15 enheter.
-
Samlet overskudd for bedriften må være lik fortjenesten(overskuddet) per enhet multiplisert med antall enheter som produseres og selges.
-
Jeg tegner grafen i GeoGebra og finner toppunkt med kommandoen «Ekstremalpunkt»
\includegraphics{opti-26-2.png}
Overskuddet er størst når det produseres 74 enheter.
Overskuddet er da kroner 6471.
Oppgave 11
En bonde skal gjerde inn et rektangelformet område med areal $625$ m$^2$. Hun skal bruke en $15$ m lang steinmur som en del av det inngjerdede området. Til resten av området skal hun bruke et gjerde med lengde $G$.
Området er skissert på figuren. På skissen er sidene i rektangelet kalt $x$ og $y$.
1) Vis at lengden $G$ av gjerdet kan skrives som $$G(x)=\frac{1250}{x}+2x-15 \ , \ x>15$$
2) Tegn grafen til $G$
3) Hva er det korteste gjerdet bonden kan bruke? Hva slags rektangel får vi da?
-
\begin{align*}x\cdot y&=625\\y &=\frac{625}{x}\\G(x) &=x+2y+(x-15)\\&=x+2\cdot \frac{625}{x}+x-15\\&=\frac{1250}{x}+2x-15\end{align*}
-
-
Jeg brukte kommandoen "$Ekstremalpunkt[<funksjon>,<start>,<slutt>]$" og fant at det korteste gjerdet er på 85 meter.
Da er $x=25$ og $y=\frac{625}{25}=25$ .
Rektangelet er da et kvadrat.
Oppgave 12
Vi skal lage en pakke med form som en rett prisme. Pakken har bredde lik $y$ cm, lengde lik $x$ cm og høyde lik $x$ cm. Vi vil sikre pakken med svart pakkebånd. Se figuren nedenfor.
Vi ser at lengden av pakkebåndet er $8x+4y$ . Vi vil lage pakken slik at den har størst mulig volum når vi bruker akkurat $900$ cm med pakkebånd.
1) Vis at volumet $V(x)$ av pakken kan skrives som$$V(x)=-2x^3+225 x^2$$
2) Bestem $x$ og $y$ slik at volumet av pakken blir størst mulig. Kommenter svaret ditt. Bestem det største volumet, målt i kubikkdesimeter.
-
Begrensning av pakkebånd
\begin{align*}8x+4y &=900\\y &=-2x+225\\V(x) &=x^2\cdot y\\&=x^2\cdot(-2x+225)\\&=-2x^3+225x^2\end{align*}
, som skulle vises.
-
Vi deriverer volumfunksjonen og finner toppunktet i CAS.
Vi sjekker at punktet er et toppunkt ved å se at deriverte endres fra positivt til negativt.
Esken har størst volum når $x=75$ og $y=-2x+225=75$ , altså når esken er en kube med like sider.
Størst mulig volum er $421875 $ cm$^2 = 422 $dm$^3$.
Oppgave 13
En bedrift lager esker av kvadratiske pappstykker med side lik 6 dm. Dette gjør de ved å klippe ut hjørner som vist på tegningen nedenfor og brette langs de stiplede linjene.
1) Forklar at volumet $V$, målt i kubikkdesimeter, til hver eske gitt ved $$V(x)=8x^3-36x^2+36x \ , \ x\in\big<0, 1.5\big>$$
2) Bruk CAS til å bestemme $x$ slik at volumet blir størst mulig. Bestem dette største volumet.
3) Bedriften skal også lage andre esker der de bruker kvadratiske pappstykker med side lik $a$ dm. De klipper og bretter på samme måte som ovenfor. Bruk CAS til å vise at det maksimale volumet til disse eskene er $\frac{\sqrt{3}}{36} a$.
-
\begin{align*}l&=6-4x\\b&=6-2x\\h&=x\\V(x) &=l\cdot b\cdot h\\&=(6-4x)\cdot (6-2x)\cdot x\\&=(36-24x-12x+8x^2)\cdot x\\&=8x^3-26x^2+36x\\\end{align*}
-
Jeg skriver likningen inn i GeoGebra, og setter den deriverte lik null. Løsningen x=2,37 er ikke i definisjonsområdet, så jeg bruker bare løsningen x=0,63. Finner størst volum ved å løse $V(0,63$ . For å sjekke om dette er et toppunkt, undersøker jeg fortegnet til den deriverte på hver side av punktet.
opti-19-1
Størst volum er lik 10,4 dm$^2$.
-
Jeg finner den nye funksjonen ved å ta lengde ganger bredde ganger høyde
\begin{align*}l&=a-2x\\b&=a-4x\\h&=x\\V(x) &=(a-2x)(a-4x)x\\&=8x^3-6ax^2+a^2x \ , \ x\in\big<0,\frac{a}{4}\big>\end{align*}
For å finne den største verdien for volumet deriverer jeg funksjonen og setter den deriverte lik null.
Løsning nummer to (linje 3 i bildet nedenfor) er ikke i definisjonsområdet, da dette er mer enn a/4, så den ser jeg bort fra. Jeg kan fjerne absoluttverditegnene, fordi a er definert positiv.
Jeg undersøker om punktet er et toppunkt med å sette inn verdier mindre enn x og større enn x for å sjekke at punktet er et toppunkt.
Velger $$x=\frac{a}{12}<x=\frac{(3-\sqrt{3})a}{12}<x=\frac{3a}{12}$$
opti-19-2
Maksimalt volum er $\frac{\sqrt{3}}{36}a^3$
Oppgave 14
På figuren ser du grafen til funksjonen f gitt ved
$$f(x)=\frac{5}{x^2+2} \ , \ x>0$$
Rektangelet $OABC$ er laget slik at $B$ ligger på grafen til $f$.
1)
Vis at arealet $F$ til rektangelet kan skrives som $$f(x)=\frac{5x}{x^2+2} \ , \ x>0$$
2)
Bruk graftegner til å bestemme $x$ slik at rektangelet får areal lik $1,0$.
3)
Bruk CAS til å bestemme eksakt $x$-verdi når rektangelet har størst mulig areal. Bestem det største arealet.
-
Areal av et rektangel er lengde multiplisert med høyde. Lengden er x og høyden er f(x).
$$A=x\cdot f(x)=x\cdot \frac{5}{x^2+2}=\frac{5x}{x^2+2}$$
-
Vi tegner grafen til i GeoGebra sammen med linjen $y=1,0$ , Deretter valgte jeg kommandoen «Skjæring mellom to objekt» og fant de to punktene A og B.
Arealet er lik 1,0 når $x=0.44$ og $x=4.56$ .
-
Vi bruker CAS i GeoGebra til å derivere funksjonen for arealet, F(x). Setter deretter den deriverte lik null for å finne eventuelle topp og bunnpunkter.
Funksjonen har ekstremalpunkt for $\sqrt{2}$ . Jeg kan se bort fra den negative løsningen fordi funksjonen bare er definert for positive tall. Jeg ser også av grafen i b) at dette er et toppunkt.
Det største mulige arealet er $F(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{4}$