Polynomfunksjoner
Oppgave 2
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$f(x)=3x^2-3x+1$$
Bestem $f'(2)$
Oppgave 3
Tegn fortegnslinje til f(x) , f'(x) og f''(x).
Oppgave 4
En 3.gradsfunksjone har bunnpunkt i $(-2,-11)$ og toppunkt i $(4,25)$.
Vendetangenten i punktet $(1,7)$ har likningen $y=9x-2$.
-
Siden $f(x)$ er en 3.gradsfunksjon så er $f'(x)$ en 2.gradsfunksjon.\\
$f'(x)$ har nullpunkter når $f(x)$ har ekstremalpunkt, altså har $f'(x)$ nullpunkter i x=-2 og x=4\\
\begin{align*}
f'(x) &= a(x-(-2))(x-4)\\
&=a(x+2)(x-4)\\
&=a(x^2-2x-8)\\
\end{align*}
Vendetangenten er : $y=9x-2$, da vet vi at $f'(1)=9$
\begin{align*}
f'(1)&=9\\
a(1^2-2\cdot 1-8)&=9\\
a(1-2-8)&=9\\
a&=\frac{9}{-9}\\
a&=-1
\end{align*}
Da vil $f'(x)=-(x^2-2x-8)=-x^2+2x+8$
\begin{align*}
f'(x) &=-x^2+2x+8\\
f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\
(ax^3)'&=3ax^2\\
3ax^2&=-x^2\\
3a&=-1 \rightarrow a=-\frac{1}{3}\\
(bx^2)'&=2bx\\
2bx&=2x \rightarrow b=1\\
(cx)' &=c = 8\\
\end{align*}
Da har vi et nesten ferdig uttrykk for $f(x)$
\begin{align*}
f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+8x+d\\
\text{Setter inn kjent punkt for å finne d :}\\
f(1)&=7\\
-\frac{1}{3}+1+8+d&=7\\
d&=7-9+\frac{1}{3}=-\frac{5}{3}
\end{align*}
Da blir $f(x)$ :
$$f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+8x-\frac{5}{3}$$
Vi kan sjekke om (-2,-11) ligger på grafen til $f(x)$ :
\begin{align*}
f(x) &=-\frac{1}{3}x^3+x^2+8x-\frac{5}{3}\\
f-2) &=-\frac{1}{3}\cdot (-2)^3+(-2)^2+8\cdot (-2)-\frac{5}{3}\\
& =\frac{8}{3}+4-16-\frac{5}{3}\\
& =-11
\end{align*}
Altså stemmer $f(x)$ også for dette punktet.\\
-
Description text goes here
-
Description text goes here
Oppgave 5
Vi har gitt funksjonen
$$f(x)=\frac{1}{3}x^3+px^2+q x+1$$
Vi vet også at den har et bunnpunkt i $(3,-8)$
-
\begin{align*}f(x) &= \frac{1}{3}x^3+px^2+q x+1\\f'(x)&=x^2+2px+q\\\text{Vi vet et punkt på grafen :}\\f(3)&=-8\\\frac{1}{3}\cdot 3^3+p\cdot 3^2+q \cdot 3+1&=-8\\9+9p+3q+1&=-8\\9p+3q&=-18\\3p+q&=-6\\\text{Vi vet at (3,-8) er et ekstremalpkt.}\\f'(3)&=0\\3^2+2p\cdot 3+q&=0\\9+6p+q&=0\\ \\\text{Da har vi 2 likninger med 2 ukjente} -> \text{Likningssett : }\\q&=-6-3p\\q&=-6p-9\\6+3p&=6p+9\\3p&=-3\\p&=-1\\q&=-6-3(-1)\\q&=-3\end{align*}
Oppgave 6
Vi har gitt funksjonen $$f(x)=2x^3-9x^2+6$$
-
\begin{align*}
f(x)&=2x^3-9x^2+6\\
\text{Finner ekstremalpunkt :}\\
f'(x)&=6x^2-18x\\
&=6x(x-3)\\
f'(x)&=0\\
x=0 &\vee x=3\\
f''(x)&=12x-18\\
f''(0)&=-18<0 \text{ , altså toppunkt}\\
f''(3)&=36-18=18>0 \text{ , altså bunnpunkt}\\
f(0)&=6\\
f(3)&=2\cdot 3^3-9\cdot 3^2+6=54-81+6=-21\\
\text{Toppunkt i }(0,6)\\
\text{Bunnpunkt i }(3,-21)\\
\end{align*}
%\includegraphics[scale=0.9]{AH-funksjon-droft-1-poly-6.png}
-
Item description
Oppgave 7
Vi kaster en ball rett oppover.
Høyden over bakken etter t sekunder er gitt ved funksjonen
$$h(t)=-4,9 t^2+9,8 t+1,5$$
-
Description text goes here
-
Description text goes here
-
Description text goes here
-
Item description
-
Item description
Oppgave 8
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$f(x)=ax^3-bx-2$$
Grafen til $f$ har et toppunkt i $(2,6)$.
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}f(x)&=ax^3-bx-2\\f(2)&=6\\a\cdot 2^3-b\cdot 2-2&=6\\8a-2b-2&=6\\f'(x)&=3ax^2-b\\f'(2)&=0\\3\cdot a\cdot 2^2-b&=0\\12a-b&=0\end{align*}
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}12a-b&=0\\b&=12a\\8a-2b-2&=6\\8a-2b&=8\\8a-2\cdot 12a&=8\\-16a&=8\\2a&=-1\\a&=-\frac{1}{2}\\b&=12\cdot (-\frac{1}{2})\\&=-6\end{align*}
Setter prøve på svaret :
\begin{align*}12a-b&=12\cdot(-\frac{1}{2})-(-6)\\&=-6+6\\&=0\\8a-2b&=8\cdot (-\frac{1}{2})-2\cdot (-6)\\&=-4+12\\&=8\end{align*}