\begin{align}
\lg a\cdot b&=\lg a+\lg b\\
\lg \frac{a}{b}&=\lg a-\lg b\\
\lg a^b &=b\cdot \lg a\\
\end{align}

Oppgave 1

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg(xy)+\lg x
    &=\lg x+\lg y+\lg x\\
    &=2\lg x+\lg y
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg x^2+\lg xy-\lg y
    &=2\lg x+\lg x+\lg y-\lg y\\
    &=3 \lg x
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg \frac{x^2}{y^2}+\lg\frac{y}{x}
    &=\lg x^2-\lg y^2+\lg y-\lg x\\
    &=2\lg x-2\lg y+\lg y-\lg x\\
    &=\lg x-\lg y
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg x^2+\lg x
    &=2\lg x+\lg x\\
    &=3\lg x
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg a^2b
    &=\lg a^2+\lg b\\
    &=2\lg a+\lg b
    \end{align}

Oppgave 2

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg(ab)+\lg\Big(\frac{a}{b}\Big)
    &=\lg a+\lg b+\lg a-\lg b\\
    &=2\lg a
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg\Big(\frac{a}{b}\Big)+\lg(ab)
    &=\lg a-\lg b+\lg a+\lg b\\
    &=2\lg a
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg a^2+\lg b^3+\lg \frac{b}{a}
    &=2\lg a+3\lg b+\lg b-\lg a\\
    &=\lg a+4\lg b
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg(xy)+\lg(x^2y)-\lg (xy^2)
    &=\lg x+\lg y+2\lg x+\lg y-(\lg x+2\lg y)\\
    &=2\lg x
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg(4xy)-\lg\frac{16}{y^2}+\lg\frac{8}{x}&=\lg 4+\lg x+\lg y-(\lg 16-\lg y^2)+\lg 8-\lg x\\&=\lg 2^2+\lg x+\lg y-\lg 2^4+2\lg y+\lg 2^3-\lg x\\&=2\lg 2+\lg x+\lg y-4\lg 2+2\lg y+3\lg 2-\lg x\\&=\lg 2+3\lg y\end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg(8b)-\lg(4b)-\lg 2+\lg b
    &=\lg 2^3+\lg b-(\lg 2^2+\lg b)-\lg 2+\lg b\\
    &=3\lg 2+\lg b-2\lg 2-\lg b-\lg 2+\lg b\\
    &=\lg b
    \end{align}

Oppgave 3

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg(a^2b^3)+\lg\Big(\frac{1}{b^2}\Big)-\lg(\frac{b}{a})
    &=\lg a^2+\lg b^3+\lg 1-\lg b^2-(\lg b-\lg a)\\
    &=2\lg a+3\lg b-2\lg b-\lg b+\lg a\\
    &=3\lg a
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg(a^2b)+\lg(ab^2)+\lg\Big(\frac{a}{b^3}\Big)
    &=\lg a^2+\lg b+\lg a+\lg b^2+\lg a-\lg b^3\\
    &=2\lg a+\lg b+\lg a+2\lg b+\lg a-3\lg b\\
    &=4\lg a
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align*}\lg\Big(\frac{1}{a^2}\Big)+3\lg a&=\lg 1-2\lg a+3\lg a\\&=\lg a\\\end{align*}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg(a^2b)-\lg\Big(\frac{1}{ab}\Big)&=\lg a^2+\lg b-(\lg 1-(\lg a+\lg b))\\&=2\lg a+\lg b+\lg a+\lg b\\&=3\lg a+2\lg b\end{align}

Oppgave 4

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg(3a)+\lg \frac{a}{3}-3\lg\sqrt[3]{a}&=\lg 3+\lg a+\lg a-\lg 3-3\lg a^{\frac{1}{3}}\\&=2\lg a-3\cdot \frac{1}{3}\lg a\\&=\lg a\end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg(8b)-\lg(4b)-\lg 2+\lg a&=\lg 2^3+\lg b-(\lg 2^2+\lg b)-\lg 2+\lg a\\&=3\lg 2+\lg b-2\lg 2-\lg b-\lg 2+\lg a\\&=\lg a\end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg(a^3b^4)+\lg\Big(\frac{a^2}{b^3}\Big)-\lg b&=3\lg a+4\lg b+2\lg a-3\lg b-\lg b\\&=5\lg a\\\end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg\sqrt{x}+\lg\sqrt[3]{x}+\lg\sqrt[6]{x}&=\lg x^{\frac{1}{2}}+\lg x^{\frac{1}{3}}+\lg x^{\frac{1}{6}}\\&=\lg x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}\\&=\lg x\end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg \frac{x^3}{y^2}+\lg\frac{y}{x}+\lg\frac{y}{x^2}&=3\lg x-2\lg y+\lg y-\lg x+\lg y-2\lg x\\&=0\\\end{align}

Oppgave 5

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg \sqrt[3]{x}+\lg \sqrt[3]{x^2}
    &=\lg x^{\frac{1}{3}}+\lg (x^2)^{\frac{1}{3}}\\
    &=\lg x^{\frac{1}{3}}+cdot x^{\frac{2}{3}}\\
    &=\lg x^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}\\
    &=\lg x
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg x^2y-\lg y
    &=\lg x^2+\lg y-\lg y\\
    &=\lg x^2\\
    &=2\lg x
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg \sqrt{x^3}
    &=\lg x^{\frac{3}{2}}\\
    &=\frac{3}{2}\lg x
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg(x^2)^3
    &=\lg x^6\\
    &=6\lg x
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg 2x^3
    &=\lg 2+3\lg x
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg \frac{x^2}{y^2}+\lg\frac{y}{x}
    &=\lg x^2-\lg y^2+\lg y-\lg x\\
    &=2\lg x-2\lg y+\lg y-\lg x\\
    &=\lg x-\lg y
    \end{align}

Oppgave 6

$$\lg a^b = b\cdot \lg a$$

Bruk reglen for å forenkle logaritmen.

Her trenger du kanskje litt potensregler også….

  • Løsningsforslag:

    Forenkler potensen først
    \begin{align}
    2\lg 5&=\lg 5^2\\
    &=\lg 25
    \end{align}

    \begin{align}
    10^{2\lg 5}
    &=10^{\lg 25}\\
    &=25
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    Forenkler potensen først
    \begin{align}
    3\lg 2&=\lg 2^3\\
    &=\lg 8
    \end{align}

    \begin{align}
    10^{3\lg 2}
    &=10^{\lg 8}\\
    &=8
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    Forenkler potensen først
    \begin{align}
    \frac{\lg 9}{2}
    &=\frac{1}{2}\lg 9\\
    &=\lg 9^{\frac{1}{2}}\\
    &=\lg 3
    \end{align}

    \begin{align}
    10^{\frac{\lg 9}{2}}
    &=10^{\lg 3}\\
    &=3
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    Forenkler potensen først
    \begin{align}
    \frac{\lg 64}{3}
    &=\frac{1}{3}\lg 4^3\\
    &=\lg (4^3)^{\frac{1}{3}}\\
    &=\lg 4
    \end{align}

    og setter svaret inn i oppgaven
    \begin{align}
    10^{\frac{\lg 64}{3}}
    &=10^{\lg 4}\\
    &=4
    \end{align}