\begin{align}
\log_{n}n^a&=a\\
\end{align}

Vi har mange ulike logaritmetyper, med ulike grunntall $n$. Generelt er definisjonen

\begin{align}
\log_{n}n^a&=a\\ \\
\end{align}

De vanligste logaritmene er de Briggske, som har grunntall 10, og de naturlige logaritmene som har grunntall $e$ (Eulers konstant).

De Briggske logaritmene skriver vi som $\lg x$

\begin{align}
\log_{10}10^a=\lg 10^a=a\\
\end{align}

De Naturlige logaritmene skriver vi som $\ln x$

\begin{align}
\log_{e}e^a=\ln e^a=a
\end{align}

Oppgave 1

\begin{align}
\log_{n}n^a&=a\\
n^{\log_{n}n^a}&=a
\end{align}

Bruk definisjonen til å løse oppgavene.

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\log_{2}8&=\log_{2} 2^3\\
    &=3\end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \log_{5} 125
    &=\log_{5} 5^3\\
    &=3
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \log_{3} 27&=\log_{3} 3^3\\
    &=3
    \end{align}

Briggske logaritmer

$\lg 10^a=a$

$10^{\lg a}=a$

Oppgave 2

Bruk definisjonen for å finne verdien til logaritmene.

Det kan være lurt å tenke potenstall…..

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg 10
    &= \lg 10^1\\
    &=1
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg 100 &= \lg 10^2\\
    &=2
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg 1000 &=\lg 10^3\\
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg 1
    &= \lg 10^0\\
    &=0
    \end{align}

Oppgave 3

Bruk definisjonen for å finne verdien til logaritmene.

Det kan være lurt her også å tenke potenstall…..

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg 0,1
    &= \lg 10^{-1}\\
    &=-1
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg 0,01 &= \lg 10^{-2}\\
    &=-2
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg 0,001
    &= \lg 10^{-3}\\
    &=-3
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}&\lg 0\\
    \text{finnes ikke }
    \end{align}

Oppgave 4

Bruk definisjonen for å finne verdien til logaritmene.

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg \sqrt{10}
    &= \lg 10^{\frac{1}{2}}\\
    &=\frac{1}{2}
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \lg \sqrt[3]{10}
    &= \lg 10^{\frac{1}{3}}\\
    &=\frac{1}{3}
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}\lg 10^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}\end{align}

Naturlige logaritmer

$\ln e^a=a$

$e^{\ln a}=a$

Oppgave 5

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \ln e^x&=x
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \ln e^2&=2\cdot 2\\
    &=2
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \ln e^{-3}&=-3
    \end{align}

  • Løsningsforslag:

    \begin{align}
    \ln(e^4\cdot e^2)
    &=\ln e^{4+2}
    &=6
    \end{align}

Oppgave 6

  • Regnet ovenfra har vi:
    $f(x)=10^x$, fordi $f(1)=10$
    $f(x)=5^x$, fordi $f(1)=5$
    $f(x)=e^x$, fordi $f(1)=e$
    $f(x)=2^x$, fordi $f(1)=2$

Oppgave 7

  • Regnet ovenfra har vi:

    $f(x)=\log_{2}x$ fordi f(2)=1
    $f(x)=\ln x$, fordi $f(e)=1$
    $f(x)=\log_{5} x$, fordi $f(5)=1$
    $f(x)=\lg x$, fordi $f(10)=1$

Oppgave 8

Her ser du grafene til $f(x)=\ln x$ og $g(x)=e^x$

  • Den nederste grafen er $f(x)=\ln x$, fordi logaritmefunksjonen kun er definert for positive x-verdier.

  • Den andre grafen er $g(x)=e^x$, vi ser at disse to grafene er symmetriske om den stiplede linjen. Det betyr at $g(x)$ er den inverse funksjonen til $f(x)$