Logaritmer
Noen ganger har vi likninger der $x$ er i eksponenten. Da trenger vi logaritmer for å få $x$ alene.
\begin{align}\lg a^x=x\cdot \lg a\end{align}
Oppgave 1
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
3^x&=81\\
3^x&=3^4\\
x&=4
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
3\cdot 2^x&=24\\
2^x&=8\\
2^x&=2^3\\
x&=3
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
2\cdot 7^x&=98\\
7^x&=49\\
7^x&=7^2\\
x&=2
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
3\cdot 2^x&=48\\
2^x&=16\\
2^x&=2^4\\
x&=4
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
2\cdot 3^x&=54\\
3^x&=27\\
3^x&=3^3\\
x&=3
\end{align}
Oppgave 2
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
2^x&=8\\
2^x&=2^3\\
x&=3
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
2^x&=64\\
2^x&=2^6\\
x&=6
\end{align}\begin{align}
64&=2\cdot 32\\
&=2\cdot 2\cdot 16\\
&=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\\
&=2^6
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
3^x&=27\\
3^x&=3^3\\
x&=3
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
5^x&=25\\
5^x&=5^2\\
x&=2
\end{align} -
Løsningsforslag 1:
\begin{align}
4^x&=8\\
(2^2)^x&=2^3\\
2^{2x}&=2^3\\
2x&=3\\
x&=\frac{3}{2}
\end{align}Løsningsforslag 2:
\begin{align}
4^x&=8\\
\ln 4^x&=\ln 8\\
x&=\frac{\ln 2^3}{\ln 2^2}\\
&=\frac{3\ln 2}{2\ln 2}\\
&=\frac{3}{2}
\end{align}
Oppgave 3
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}3^{3x}&=3^2\\3x&=2\\x&=\frac{2}{3}\end{align*}
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}2^{x+1}&=2^2\\x+1&=2\\x&=1\end{align*}
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}3^{2x-2}&=2^2\\\lg 3^{2x-2}&=\lg 2^2\\(2x-2)\lg 3&=2\lg 2\\2(x-1)&=\frac{2\lg 2}{\lg 3}\\x-1&=\frac{\lg 2}{\lg 3}\\x&=1+\frac{\lg 2}{\lg 3}\\x&=\frac{\lg 3+\lg 2}{\lg 3}\end{align*}
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}3^{2x-1}&=3^0\\2x-1&=0\\2x&=1\\x&=\frac{1}{2}\end{align*}
Oppgave 4
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}2(3^{3x}-4)&=8\\3^{3x}-4&=4\\3^{3x}&=8\\\lg 3^{3x}&=\lg 2^3\\3x&=\frac{3\lg 2}{\lg 3}\\x&=\frac{3\lg 2}{3 \lg 3}\\x&=\frac{\lg 2}{\lg 3}\\\end{align*}
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}10^x&=55\\\lg 10^x&=\lg (5\cdot 11)\\x&=\lg 5+\lg 11\end{align*}
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}10^{-2x}&=10^2\\-2x &=2\\x&=-1\end{align*}
Oppgave 5
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}2^{3x-2}-13&=3\\2^{3x-2}&=16\\\lg 2^{3x-2}&=\lg 2^4\\3x-2&=4\\3x&=6\\x&=2\end{align*}
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}9\cdot 2^x&=144\\2^x&=16\\\lg 2^x&=\lg 2^4\\x&=4\end{align*}
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}5\cdot 3^x&=25\\3^x&=5\\\lg 3^x&=\lg 5\\x&=\frac{\lg 5}{\lg 3}\end{align*}
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}3\cdot 5^x&=18\\5^x&=6\\\lg 5^x&=\lg 6\\x\cdot \lg 5&=\lg 2+\lg 3\\x&=\frac{\lg 2+\lg 3}{\lg 5}\end{align*}
Oppgave 6
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
e^x&=5\\
\ln e^x&=\ln 5\\
x\cdot \ln e&=\ln 5\\
x&=\ln 5\\
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
e^{-x}&=4\\
\ln e^{-x}&=\ln 4\\
-x\cdot \ln e&=\ln 2^2\\
-x&=2\ln 2\\
x&=-2\ln 2\\
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
2e^x&=6\\
e^x&=3\\
x&=\ln 3
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
e^x&=81\\
x&=\ln 3^4\\
x&=4\ln 3
\end{align}
Oppgave 7
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}e^{2x}+2e^x-3&=0\\(e^x)^2+2e^x-3&=0\\(e^x+3)(e^x-1)&=0\\e^x\not=-3 &\vee e^x=1\\x&=0\end{align*}
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}e^x-7+10e^{-x}&=0\\(e^x)^2-7e^x+10&=0\\(e^x-5)(e^x-2)&=0\\e^x=5 &\vee e^x=2\\x=\ln 5 &\vee x=\ln2\end{align*}
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
3e^x&=6\\
e^x&=2\\
x&=\ln 2
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align}
\Big(\frac{1}{10}\Big)^x&=1000\\
\lg\Big(\frac{1}{10}\Big)^x&=\lg 1000\\
x\cdot \lg 10^{-1}&=\lg 10^3\\
x&=\frac{3}{-1}\\
x&=-3
\end{align} -
Løsningsforslag:
\begin{align*}9^{x}-3^x-12&=0\\(3^x)^2-3^x-12&=0\\(3^x-4)(3^x+3)&=0\\3^x=4 &\vee 3^x\not=-3\\\ln 3^x&=\ln 2^2\\x\ln 3&=2\ln 2\\x&=\frac{2\ln 2}{\ln 3}\end{align*}
-
Løsningsforslag:
\begin{align*}
4\Big( 1+\frac{x}{100}\Big)^4&=64\\
\Big( 1+\frac{x}{100}\Big)^4&=2^4\\
1+\frac{x}{100}&=\pm 2\\\frac{x}{100}=1 &\vee \frac{x}{100}=-3\\x=100 &\vee x=-300\end{align*}
Oppgave 8
-
Løsningsforslag:
$B\cdot 1,025^x=2B \Rightarrow 1,025^x=2 \Rightarrow x=\frac{\lg 2}{\lg 1,025}$
Oppgave 9
Temperaturen i kjøleskapet vil stige dersom strømmen går. Temperaturendringen vil skje etter formelen : $$T(x)=3+1,15^x$$
der T(x) er temperaturen og x er tid i timer.
-
Løsningsforslag:
$x=0 \Rightarrow T(0)=4$
-
Løsningsforslag:
$T(x)>8 \Rightarrow 1,15^x>5 \Rightarrow x>\frac{\ln 5}{\ln 1,15}$
-
Løsningsforslag:
Romtemperaturen er begrensningen.
Temperaturen i kjøleskapet vil ikke overstige romtemperaturen
Oppgave 5
-
Løsningsforslag:
Etter 3 år : $10000\cdot 0,85^3$
-
Løsningsforslag:
$10000\cdot 0,85^x=3000 \Rightarrow x=\frac{\ln 0,3}{\ln 0,85}$
Hans kjøpte scooter for kr.10000 i begynnelsen av 2016. Vi regner med at verdien synker med 15\% pr.år.
Sett opp hvordan du vil regne ut :