Gjennomsnittlig vekst
Når vi skal beregne den gjennomsnittlige veksten til en funksjon, leser vi av x- og y-verdiene til to ulike punkter.
Gjennomsnittlig vekst kan da regnes ut slik:
\begin{align}\frac{\Delta y}{\Delta x} &=\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}\end{align}
Momentan vekst
Når vi deriverer en funksjon f(x) får vi et nytt uttrykk. Dette nye uttrykket beskriver veksten til funksjonen.
Vi sier at den deriverte er et uttrykk for den momentane veksten til $f(x)$.
Numerisk beregning av den deriverte
Vi kan beregne den momentane veksten slik som vi beregner gjennomsnittlig vekst. Vi lar da avstanden mellom de to x-verdiene være veldig liten.
Vi sier da at $\Delta x$ (delta x) går mot null.
På figuren har vi to x-verdier, den ene kaller vi x og den andre kaller vi $(x+\Delta x)$. Hvis vi nå tenker at $\Delta x$ er veldig liten, $\Delta x \to 0$, så finner vi en tilnærmet verdi for den momentane veksten.
$$ f’(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
-
Løsningsforslag:\begin{align}f(x)&=2x\\f(x+\Delta x)&=2(x+\Delta x)\\&=2x+2\Delta x\\f’(x)&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{(2x+2\Delta x)-2x}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{2\Delta x}{\Delta x}\\&=2\end{align}
-
Løsningsforslag:\begin{align}f(x)&=x^2\\f(x+\Delta x)&=(x+\Delta x)^2\\&=x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2\\f’(x)&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta x(2x+\Delta x)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to 0} (2x+\Delta x)\\&=2x\end{align}
-
Løsningsforslag:
\begin{align}
f(x)&=3x^3\\
f(x+\Delta x)&=3(x+\Delta x)^3\\
&=3(x^3+3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3)\\
f’(x)&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{3(x^3+3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3)-3x^3}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{3x^3+9x^2\Delta x+9x(\Delta x)^2+3(\Delta x)^3-3x^3}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{9x^2\Delta x+9x(\Delta x)^2+3(\Delta x)^3}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta x(9x^2+9x(\Delta x)+3(\Delta x)^2}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to 0} (9x^2+9x(\Delta x)+3(\Delta x)^2\\
&=9x^2\end{align}
Du skal bruke definisjonen til den deriverte for å finne $f’(x)$ :
Finne først $f(x+\Delta x)$
Sett inn i definisjonen,
$$ f’(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
Vi kan ikke sette inn $\Delta x=0$ fordi dette gir null i nevneren (og det går ikke!)
Rydd opp i uttrykket, og se om du kan forkorte slik at det blir mulig å sette inn $\Delta x=0$.