Kontinuitet og deriverbarhet
En funksjon er kontinuerlig dersom grafen til funksjonen er sammenhengende.
Dersom $\lim \limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ så er $f(x)$ kontinuerlig i $x=a$, forutsatt at $f(a)$ eksisterer, altså at $f(x)$ er definert for a.
Dersom $f$ er kontinuerlig i alle punktene i et intervall, sier vi at $f$ er kontinuerlig i intervallet.
Deriverbarhet
En funksjon er deriverbar i $x=a$ dersom den er kontinuerlig og
$$\lim \limits_{x\rightarrow a^+}f'(x)=\lim \limits_{x\rightarrow a^-}f'(x)$$
Eksempel
Vi skal undersøke om $f(x)=x-3$ er kontinuerlig for $x=2$
$f(2)=2-3=-1$ , altså kontinuerlig for $x=2$
Oppgave 1
Undersøk om
-
$\lim\limits_{x \to 1} f(x)=\lim\limits_{x \to 1} (x^2+3)=f(1)=4$\\
$\lim\limits_{x \to 1} f'(x)=\lim\limits_{x \to 1} (2x)=f'(1)=2$\\
Grafen finnes i punktet x=1, og har ingen `knekk' og er derfor kontinuerlig og deriverbar.
-
$\lim\limits_{x \to -2}f(x)=\lim\limits_{x \to -2} (\frac{x}{2})=f(-2)=-1$\\
$\lim\limits_{x \to -2}f'(x)=\lim\limits_{x \to -2} (\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$\\
Grafen finnes i punktet x=-2, og har ingen `knekk' og er derfor kontinuerlig og deriverbar.
-
$\lim\limits_{x \to 0}f(x)=\lim\limits_{x \to 0} (x^3+2x^2-\frac{x}{3}-2)=f(0)=-2$\\
$\lim\limits_{x \to 0}f'(x)=\lim\limits_{x \to 0} (3x^2+4x-\frac{1}{3})=f'(0)=-\frac{1}{3}$\\
Grafen finnes i punktet x=0, og har ingen `knekk' og er derfor kontinuerlig og deriverbar.
Funksjoner med delt forskrift
Definisjon - kontinuitet i bruddpunkter
Anta at $f(x)$ er en funksjon med delt forskrift der $x=a$ er bruddpunkt.
Da er $f$ kontinuerlig i $a$ hvis og bare hvis
$$\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=f(a)$$
dvs. grafen henger sammen i punktet der $x=a$.
Definisjon - Ensidige grenseverdier
Dersom $f(x)\rightarrow L$ når $x\rightarrow a$ nedenfra, skriver vi :
$$\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)$$
Dersom $f(x)\rightarrow L$ når $x\rightarrow a$ ovenfra, skriver vi :
$$\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)$$
Vi skal undersøke om $f(x)$ er kontinuerlig og deriverbar i $x=1$.
\[f(x)=\bigg\{ \begin{array}{ll}x^2+x &, x<1\\x+1 &, x\geq 1\end{array} \]\[f(1)=\bigg\{ \begin{array}{ll}1^2+1=2 &, x<1\\1+1=2 &, x\geq 1\end{array} \]
altså kontinuerlig.
\[f'(x)=\bigg\{ \begin{array}{ll}2x+1 &, x<1\\1 &, x\geq 1\end{array} \]\[f'(1)=\bigg\{ \begin{array}{ll}2\cdot 1=2 &, x<1\\1 &, x\geq 1\end{array} \]
altså er $f(x)$ ikke deriverbar i $x=1$
Oppgave 2
Undersøk om funksjonen er kontinuerlig og deriverbar i bruddpunktet.
-
\begin{align*}f(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}x+2 &, x<2\\2x-2 &, x\geq 2\end{array} \\\lim_{x\to 2^-} f(x)&\not =\lim_{x\to 2^+} f(x)\\\lim_{x\to 1^-} 2+2&\not =\lim_{x\to 1^+} 4-2\\4 &\not = 2\end{align*}
altså ikke kontinuerlig for $x=2$, og dermed heller ikke deriverbar
-
\begin{align*}f(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}-1 &, x<0\\1 &, x\\\end{array} \\\lim_{x\to 2^-} f(x)&\not =\lim_{x\to 2^+} f(x)\\-1 &\not = 1\end{align*}
altså ikke kontinuerlig for $x=0$, og dermed heller ikke deriverbar.
-
\begin{align*}f(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}1+\frac{1}{2}x &, x<2\\x^2-6x+10 &, x\geq 2\end{array} \\\lim_{x\to 2^-} f(x)&=\lim_{x\to 2^+} f(x)\\\lim_{x\to 2^-}1+1 &=\lim_{x\to 2^+} 4-12-10\\2&=2\end{align*}
altså kontinuerlig for $x=2$\\
\begin{align*}f'(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}\frac{1}{2} &, x<2\\2x-6 &, x\geq 2\end{array} \\\lim_{x\to 2^-} f'(x)&\not=\lim_{x\to 2^+} f'(x)\\\lim_{x\to 2^-} \frac{1}{2}&\not=\lim_{x\to 2^+} 4-6\\\frac{1}{2}&\not=-2\end{align*}
altså ikke ikke deriverbar for $x=2$,\\
-
\begin{align*}f(4)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}\frac{1}{2}\cdot 4=2 &, x<4\\\frac{1}{2} &, x\geq 4\end{array} \\\lim_{x\to 4^-} f(x)&=\lim_{x\to 4^+} f(x)\\\end{align*}
altså ikke kontinuerlig for $x=4$, og dermed heller ikke deriverbar.
Oppgave 3
Undersøk om funksjonen er kontinuerlig og deriverbar i bruddpunktet.
-
\begin{align*}f(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}-x^2-2\cdot x+6 &, x<1\\-4\cdot x+7 &, x\geq 1\end{array}. \\\lim_{x\to 1^-} f(x)&=\lim_{x\to 1^+} f(x)\\\lim_{x\to 1^-} (-1^2-2\cdot 1+6)&=\lim_{x\to 1^+} (-4\cdot 1+7)\\-1-2+6&=-4+7\\3&=3\end{align*}
altså kontinuerlig for $x=1$\\
\begin{align*}f'(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}-2x-2 &, x<1\\-4 &, x\geq 1\end{array} \\\lim_{x\to 1^-} f'(x)&=\lim_{x\to 1^+} f'(x)\\\lim_{x\to 1^-} (-4-2)&=\lim_{x\to 1^+} (-4)\\-4&=-4\end{align*}
altså deriverbar for $x=1$
-
\begin{align*}f(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}x^2-2x+2 &, x<2\\-x^2+6x-6 &, x\geq 2\end{array} \\\lim_{x\to 1^-} f(x)&=\lim_{x\to 1^+} f(x)\\\lim_{x\to 1^-} 4-4+2&=\lim_{x\to 1^+} -4+12-6\\2&=2\end{align*}
altså kontinuerlig for $x=2$
\begin{align*}f'(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}2x-2 &, x<2\\-2x+6 &, x\geq 2\end{array} \\\lim_{x\to 1^-} f'(x)&=\lim_{x\to 1^+} f'(x)\\\lim_{x\to 1^-} 4-2&=\lim_{x\to 1^+} -4+6\\2&=2\end{align*}
altså deriverbar for $x=2$
-
\begin{align*}f(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}-x^2+2\cdot x+3 &, x<2\\x^2-6\cdot x+11 &, x\geq 2\end{array} \\\lim_{x\to 2^-} f(x)&=\lim_{x\to 2^+} f(x)\\\lim_{x\to 2^-} -4+4+3&=\lim_{x\to 2^+} 4-12+11\\3&=3\end{align*}
altså kontinuerlig for $x=2$
\begin{align*}f'(x) &=\bigg\{ \begin{array}{ll}-2x+2 &, x<2\\2x-6 &, x\geq 2\end{array} \\\lim_{x\to 1^-} f'(x) &=\lim_{x\to 1^+} f'(x)\\\lim_{x\to 1^-} -4+2 &=\lim_{x\to 1^+} 4-6\\-2&=-2\end{align*}
altså deriverbar for $x=2$
Oppgave 4
Undersøk om funksjonen er kontinuerlig og deriverbar i bruddpunktet.
-
\begin{align*}f(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}-x^2+6 &, x<2\\x^2-8x+14 &, x\geq 2\end{array}\\\lim_{x\to 2^-} f(x)&=\lim_{x\to 2^+} f(x)\\\lim_{x\to 2^-} -4+6&=\lim_{x\to 2^+} 4-16+14\\2&=2\end{align*}
altså kontinuerlig for $x=2$
\begin{align*}f'(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}-2x &, x<2\\2x-8 &, x\geq 2\end{array} \\\lim_{x\to 2^-} f'(x) &=\lim_{x\to 2^+} f'(x)\\\lim_{x\to 2^-} -4 &=\lim_{x\to 2^+} -4\\-4&=-4\end{align*}
altså deriverbar for $x=2$
-
\begin{align*}f(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}x^2+2 &, x<1\\-2\cdot x+5 &, x\geq 1\end{array} \\\lim_{x\to 1^-} f(x)&=\lim_{x\to 1^+} f(x)\\\lim_{x\to 1^-} 1+2&=\lim_{x\to 1^+} -2+5\\3&=3\end{align*}
altså kontinuerlig for $x=1$\\
\begin{align*}f'(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}2x &, x<1\\-2 &, x\geq 1\end{array} \\\lim_{x\to 1^-} f'(x) &\not =\lim_{x\to 1^+} f'(x)\\\lim_{x\to 1^-} 2 &\not =\lim_{x\to 1^+} -2\\2 &\not =-2\end{align*}
altså ikke deriverbar for $x=1$
-
\begin{align*}f(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}-x+3 &, x<1\\x^2-5\cdot x+6 &, x\geq 1\end{array} \\\lim_{x\to 1^-} f(x)&=\lim_{x\to 1^+} f(x)\\\lim_{x\to 1^-} -1+3&=\lim_{x\to 1^+} 1-5+6\\2&=2\end{align*}
altså kontinuerlig for $x=1$\\
\begin{align*}f'(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}-1 &, x<1\\2x-5 &, x\geq 1\end{array} \\\lim_{x\to 1^-} f'(x) &=\lim_{x\to 1^+} f'(x)\\\lim_{x\to 1^-} -1 &=\lim_{x\to 1^+} 2-5\\-1&\not = -3\end{align*}
altså ikke deriverbar for $x=1$
Oppgave 5
Undersøk om funksjonen er kontinuerlig og deriverbar i bruddpunktet.
-
\begin{align*}f(x) &=\bigg\{ \begin{array}{ll}2x+1 &, x<2\\-x^2+6x-2 &, x\geq 2\end{array} \\\lim_{x\to 2^-} f(x)&\not=\lim_{x\to 2^+} f(x)\\\lim_{x\to 2^-} (4+1)&\not=\lim_{x\to 2^+} (-4+12-2)\\5 &\not= 6\end{align*}
altså ikke kontinuerlig for $x=2$, og dermed heller ikke deriverbar
-
\begin{align*}f(x) &= \bigg\{ \begin{array}{ll}x+1=3 &, x<2\\-x+5=3 &, x\geq 2\end{array} \\\lim_{x\to 2^-} f(x)&=\lim_{x\to 2^+} f(x)\\\lim_{x\to 2^-} 2+1&=\lim_{x\to 2^+}-2+5 \\3 &=3\end{align*}
altså kontinuerlig for $x=2$.
\begin{align*}f'(x)=\bigg\{ \begin{array}{ll}1 &, x<2\\-1 &, x\geq 2\end{array} \\\lim_{x\to 1^-} f(x)&\not=\lim_{x\to 1^+} f(x)\\1&\not=-1\end{align*}
altså ikke ikke deriverbar for $x=2$,
-
\begin{align*}f(x) &= \bigg\{ \begin{array}{ll}-2x^2+4 &, x<1\\x^2-4x+3 &, x\geq 1\end{array} \\\lim_{x\to 1^-} f(x)&=\lim_{x\to 1^+} f(x)\\\lim_{x\to 1^-} -2+4&=\lim_{x\to 1^+} 1-4+3\\2&\not= 0\end{align*}
altså ikke kontinuerlig for $x=1$
Ikke kontinuerlig, altså ikke deriverbar.
Oppgave 6
En funksjon $f$ er definert ved
\[f(x)=\bigg\{ \begin{array}{ll}x &, 0\leq x\leq 2\\-x^2+6x-2 &, 2 < x\leq 5\end{array} \]
Gi funksjonen $f$ en ny definisjonsmengde slik at følgende er oppfylt samtidig
$f$ skal være kontinuerlig
Den nye definisjonsmengden skal være så stor som mulig
Verdimengden til $f$ skal være uendret.
-
For at en funksjon skal være kontinuerlig, må den være kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde.
Hvis vi fjerner $x=2$ fra definisjonsområdet vil $f$ være kontinuerlig.
\[f(x)=\bigg\{ \begin{array}{ll}x &, 0\leq x< 2\\-x^2+6x-2 &, 2 < x\leq 5\end{array}\]
Oppgave 7
En funksjon $f$ er gitt ved
\[f(x)=\bigg\{ \begin{array}{ll}
x^3-2 &, x < 2\\3x^2-4 &, x \geq 2
\end{array} \]
Avgjør om følgende påstand er sann eller usann : "Funksjonen er deriverbar i $x=2$.
-
\begin{align*}
f(x)&=\bigg\{ \begin{array}{ll}
x^3-2 &, x < 2\\
3x^2-4 &, x \geq 2
\end{array} \\ \\
\lim_{x\to 1^-} f(x) &\not =\lim_{x\to 1^+} f(x)\\ \\
\lim_{x\to 1^-} (8-2)&\not =\lim_{x\to 1^+} (12-4)\\
6 &\not= 8
\end{align*}
Altså er påstanden usann.
Oppgave 8
Funksjonen $f$ er gitt ved
\[f(x)=\bigg\{ \begin{array}{ll}-x^2+(2+k)x &, x < k\\x^2+(2-k)x &, x \geq k\end{array} \]
der $k\in \mathbb{R}$
-
\begin{align*}\lim\limits_{x\to k^-}f(x) &=-k^2+(2+k)k\\&=-k^2+2k+k^2=2k\\\lim\limits_{x\to k^+}f(x) &=k^2+(2-k)k\\&=k^2+2k-k^2=2k\end{align*}
Vi regner ut $f(k)$, og ser at vi får samme svar for begge delfunksjonene. Da vet vi at funksjonen er kontinuerlig for alle $k\in \mathbb{R}$.
-
Gjør det samme med den deriverte
\begin{align*}\lim\limits_{x\to k}f'(x) &=\bigg\{ \begin{array}{ll}-2x+2+k &, x<k\\2x+2-k &, x\geq k\end{array} \\\lim\limits_{x\to k^-}f'(k) &=-2k+2+k=-k+2\\\lim\limits_{x\to k}^+f'(k) &=2k+2-k=k+2\\k+2&=2\\k &=0\end{align*}
For at grafen til $f$ skal være deriverbar må $k=0$.
-
\begin{align*}f'(x) &=\bigg\{ \begin{array}{ll}-2x+2+k &, x<k\\2x+2-k &, x\geq k\end{array} \\\text{Ekstremalpunktene :}\\f_1'(x)&=0\\-2x+2+k&=0\\x&=\frac{1}{2}k+1\\f_2'(x)&=0\\2x+2-k&=0\\x&=\frac{1}{2}k-1\end{align*}
\begin{align*}f_1\Big(\frac{1}{2}k+1\Big)&=f_2\Big(\frac{1}{2}k+1\Big)\\\frac{1}{4}k^2+k+1&=-\frac{1}{4}k^2+k+3\\k&=\pm 2\end{align*}
Dersom x=2 eller x=-2 vil grafen være strengt voksende og én-entydig, altså har den en omvendt funksjon.
-
Dersom $f(x)$ skal være kontinuerlig må grafen gå mot samme y-verdi når $x$ går mot $a$ ovenfra og nedenfra.
$$\lim\limits_{x\rightarrow a^-} f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f(x)$$
\begin{align*}
2a^2-3a-2&=a^2+a+3\\
a^2-4a-5&=0\\
(a-5)(a+1)&=0\\
a=5 &\vee a=-1
\end{align*}
Altså vil den være kontinuerlig når \uuline{$a=-1$ og når $a=5$}
Oppgave 9
Funksjonen $f$ er gitt ved
\[f'(x)=\bigg\{ \begin{array}{ll}2x^2-3x-2 &, x\leq a\\x^2+x+3 &, x>a\end{array} \]
-
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3^2-\frac{5}{2}\cdot 3=18/2-15/2=3/2 \ \text{ når } \ x\leq 3\\3^2-2\cdot 3=9-6=3 \ \text{ når } \ x>3 \end{array} \right.$$
Altså ikke kontunuerlig i $x=3$
-
2) Siden den ikke er kontinuerlig i $x=3$ er den heller ikke deriverbar i dette punktet.
-
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2-\frac{5}{2}x \ \text{ når } \ x\leq 3 \Rightarrow D_f=\big<\leftarrow,3]\\x^2-2x \ \text{ når } \ x>3\Rightarrow D_f=\big<3,\rightarrow\big>\\\end{array} \right.$$
Finner verdimengdene :\\
\begin{align*} x^2-\frac{5}{2}x \ &\text{ når } \ x\leq 3\\ f(x) &=x^2-\frac{5}{2}x\\ f'(x)&=2x-\frac{5}{2}\\ f'(x)&=0\\ 2x-\frac{5}{2}&=0\\ 2x&=\frac{5}{2}\\ x&=\frac{5}{4}\\\end{align*}
Grafen har et bunnpunkt i $x=\frac{5}{4}$, dette er innenfor definisjonsmengden og vil medføre at grafen ikke er én-éntydig, og da har den ikke noen omvendt funksjon.
Oppgave 10
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2-\frac{5}{2}x \ \text{ når } \ x\leq 3\\ x^2-2x \ \text{ når } \ x>3\end{array}\right.$$
-
$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2 \ \text{ når } \ x\leq 1\\2\cdot 1=2 \ \text{ når } \ x>1\end{array}\right.$
altså kontinuerlig for $x=1$, og er da kontinuerlig for alle verdier av $x$.\\
-
$ f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 \ \text{ når } \ x\leq 1\\ 2 \ \text{ når } \ x>1 \end{array}\right.$
altså ikke deriverbar i $x=1$
-
Grafen er ikke én-éntydig, $f(x)=2$ gir at én y-verdi har uendelig mange x-verdier.
Oppgave 11
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 \ \text{ når } \ x\leq 1\\2x \ \text{ når } \ x>1\end{array}\right.$$
-
$$ \lim_{x\to 1}f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\lim_{x\to 1^-} 1+5=6 \ \text{ når } \ x\leq 1\\\lim_{x\to 1^+} 3\cdot 1+3=6 \ \text{ når } \ x>1\end{array}\right.$$
Altså kontinuerlig i hele intervallet.
-
$$ f'(1)=\left\{ \begin{array}{ll} 1 \ \text{ når } \ x\leq 1\\3 \ \text{ når } \ x>1\end{array}\right.$$
altså ikke deriverbar i $x=1$
ption text goes here
-
$$f(1)=\left\{\begin{array}{ll}x+5 \ \text{ når } \ x\leq 1 \Rightarrow D_f=\big<\leftarrow,1] , V_f=\big<\leftarrow,6]\\3x+3=6 \ \text{ når } \ x>1 \Rightarrow D_f=\big<1,\rightarrow\big> , V_f=\big<6,\rightarrow\big>\\\end{array} \right.$$
Grafen til $f(x)$ er én-éntydig i hele intervallet, altså finnes det en omvendt funksjon.
Oppgave 12
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x+5 \ \text{ når } \ x\leq 1\\3x+3 \ \text{ når } \ x>1\end{array}\right.$$
-
For at $f$ skal bli kontinuerlig må
\begin{align*}\lim_{x\to 2^-} f(x) &= \lim\limits_{x\to 2^-} f(x)\\\lim_{x\to 2^-} 4+1 &= \lim\limits_{x\to 2^-} 2-t\\5 &=2-t\\t =&-3\end{align*}
-
For at $f$ skal være deriverbar må
\begin{align*}\lim_{x\to 2^-} f'(x) &= \lim_{x\to 2^-} f'(x)\\\lim_{x\to 2}f'(x) &=\bigg\{ \begin{array}{ll} 2x \ \ x < 2\\ 1 \ \ x\geq 2 \end{array}\\\lim_{x\to 2^-} f'(x) &\not= \lim_{x\to 2^+} f'(x)\\4 &\not = 1\end{align*}
Altså ikke deriverbar.
Oppgave 13
En funksjon $f$ er gitt ved
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2+1 \ \ x < 2\\x-t \ \ x\geq 2\end{array}\right.$$
Kontinuerlige funksjoner:
$f(x)=a$ , der $a$ er en konstant
$f(x)=x$
$f(x)=x^n$ , potensfunksjoner
$f(x)=|x|$ , absoluttverdien
$f(x)=\sqrt{x}$
$f(x)=e^x$
$f(x)=\ln(x)$
$f(x)=\sin(x)$ , $f(x)=\cos(x)$
Diskontinuerlige funksjoner :
$f(x)=1/x$ , ikke kontinuerlig i $x=0$
$\tan(x)$ , ikke kontinuerlig i $x=\frac{\pi}{2}+n\cdot 2\pi$
-
Description text goes here
-
Description text goes here
-
Description text goes here
Oppgave 15
-
Description text goes here
-
Description text goes here
-
Description text goes here
Oppgave 16