Definisjon - Grenseverdi

La f være en funksjon og L et tall. Dersom $f(x)\rightarrow L$ når $x\rightarrow a$ , kaller vi $L$ grenseverdien til $f(x)$ når $x$ går mot $a$ .

Med symboler skriver vi:

$$\lim_{x\rightarrow a} f(x) =L$$

Hvis $f(x)$ ikke nærmer seg noe bestemt tall når $x\rightarrow a$ , sier vi at grenseverdien $\lim \limits_{x\rightarrow a} f(x) $ ikke eksisterer.

$lim$ er forkortelse for limes som betyr grense på latin.

Grenseverdisetningene

Anta at $\lim \limits_{x\rightarrow a}f(x)=K$ og $\lim \limits_{x\rightarrow a}g(x)=L$

Da er :

$\lim \limits_{x\rightarrow a}[f(x)\pm g(x)]=K\pm L$

$\lim \limits_{x\rightarrow a}[f(x) \cdot g(x)]=K\cdot L$

$\lim \limits_{x\rightarrow a}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{K}{L}$

Geogebra CAS : Grenseverdi(x+1, 2) $\rightarrow$ 3

Oppgave 1

Grenseverdien til en polynomfunksjon f(x), når x går mot en bestemt verdi :

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

Eksempel

Dersom det er mulig kan vi bare sette inn grensen i uttrykket :

$$\lim \limits_{x\to 1} (2x+3)=2\cdot 1 + 3=5 $$

  • $\lim \limits_{x\to 2} x+1=2+1=3$

  • $\lim \limits_{x\to -3} (2x-1)=2(-3)-1=-7$

  • $\lim \limits_{x\to -1} (x^2+1)=2$

  • $\lim \limits_{x\to 1} (x^2-1)=0$

  • $\lim \limits_{x\to 4} (x^2-3x+3)=7$

  • $\lim \limits_{x\to 3} \frac{x+5}{x-1}=\frac{8}{2}=4$

Oppgave 2

Grenseverdi ved å forenkle uttrykket

Grenseverdien til en rasjonal funksjon der både teller og nevner er null, finner vi ved å faktorisere teller og nevner og forkorte brøken.

Dersom vi får null i nevneren kan vi ikke sette inn grensen direkte.

Noen ganger kan vi omforme uttrykket, f.eks. :

$\lim \limits_{x \to 1}\frac{x^2-x}{x-1}=\lim \limits_{x \to 1}\frac{x(x-1)}{x-1}=\lim \limits_{x \to 1}x=1$

  • \begin{align}
    \lim \limits_{x \to 1} \frac{x^2-1}{(x-1)}
    &=\lim \limits_{x \to 1} \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)}\\
    &=\lim \limits_{x \to 1}(x+1)\\
    &=1+1=2
    \end{align}

  • \begin{align}
    \lim \limits_{x \to 2}\frac{3x^2-12}{x-2}\\
    &=\lim\limits_{x \to 2}\frac{3(x^2-4)}{x-2}\\
    &=\lim\limits_{x \to 2}\frac{3(x+2)(x-2)}{x-2}\\
    &=\lim\limits_{x \to 2} 3(x+2)\\
    &=12
    \end{align}

  • \begin{align}
    \lim\limits_{x \to -1}\frac{2x^2-2}{x+1}\\
    &=\lim\limits_{x \to -1}\frac{2(x+1)(x-1)}{x+1}\\
    &=\lim\limits_{x \to -1}2(x-1)\\
    &=-4
    \end{align}

  • \begin{align}
    \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-5x+4}{x^2+2x-3}
    &=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-4)(x-1)}{(x+3)(x-1)}\\
    &=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-4)}{(x+3)}\\
    &=-\frac{3}{4}
    \end{align}

  • $\lim \limits_{x\to 2}\frac{2x-4}{x^2-2x}=\frac{2(x-2)}{x(x-2)}=1$

Oppgave 3

Grenseverdi lik null

Dersom telleren går mot null og nevner ikke går mot null, er grenseverdien null.

Eksempel

$\lim\limits_{x \to 1}\frac{x-1}{x+2}=\frac{0}{3}=0$

  • \begin{align}
    \lim \limits_{x\to 3} \frac{x-3}{x-1}\\
    &=\frac{0}{2}\\
    &=0
    \end{align}

  • \begin{align}\lim \limits_{x\to 1} \frac{x^2-5x+4}{x^2+2x+3}\\
    &=\frac{1-5+4}{1+2+3}\\
    &=\frac{0}{6}\\&=0
    \end{align}

  • \begin{align}
    \lim \limits_{x\to 2} \frac{2(x-2)}{x(x+2)}&=\frac{0}{8}\\&=0
    \end{align}

Oppgave 4

Ingen grenseverdi

Dersom nevner går mot null og teller ikke går mot null, finnes ingen grenseverdi.

Eksempel

$\lim\limits_{x \to -1}\frac{x+3}{x+1}=''\frac{4}{0}''=\infty$

  • \begin{align}\lim \limits_{x\to 1}\frac{x-3}{x-1}=\frac{-2}{0}\end{align} ingen grenseverdi.

  • \begin{align}\lim \limits_{x\to 1}\frac{x^2+5x}{x^2+2x-3}=\frac{6}{0}\end{align} ingen grenseverdi.

  • \begin{align}\lim \limits_{x\to 2}\frac{2x+4}{x^2-2x}=\frac{8}{0}\end{align} ingen grenseverdi.

Oppgave 5

  1. Vi prøver sette inn den verdien x går mot.

    Dersom vi får null i nevneren må vi prøve noe annet.

  2. Sjekker om uttrykket kan forenkles eller skrives om.

    Dersom vi fortsatt ikke får et svar

    - dersom vi har null i både teller og nevner
    [$\frac{0}{0}$-uttrykk]

    eller

    - uendelig i både teller og nevner
    [$\frac{\infty}{\infty}$-uttrykk]

  3. dividere med høyeste potens av x. eller L’Hôpitals regel.

Finn grenseverdiene hvis de eksisterer.

  • \begin{align}
    \lim\limits_{x\to 1}(2x^2+3x+4)\\ &=2+3+4\\&=9\end{align}

  • \begin{align}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x+2}{(x-2)^3}
    &=\frac{2}{-8}\\
    &=-\frac{1}{4}
    \end{align}

  • \begin{align}
    \lim\limits_{x\to -\infty} 3-\frac{4}{x-3}\\
    &=3-\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{4}{x-3}\\&=3\end{align}

  • \begin{align*}\lim_{x\to \infty}\frac{3x^3-2x+8}{5x^3+x^2-7} &\overset{L'H}{=}\lim_{x\to \infty}\frac{9x^2-2}{15x^2+2x}\\&\overset{L'H}{=}\lim_{x\to \infty}\frac{18x}{30x+2}\\&\overset{L'H}{=}\lim_{x\to \infty}\frac{18}{30}\\&=\frac{3}{5}\end{align*}

  • \begin{align*}
    \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2-2x}{x^3+x^2+6x}
    &=\lim\limits_{x\to 0} \frac{x(x-2)}{x(x^2+x+6)}\\
    &=\lim\limits_{x\to 0} \frac{x-2}{x^2+x+6}\\
    &=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\end{align*}

  • \begin{align*}\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2-2x}{x^3+x^2+6x} &=\lim\limits_{x\to 2}\frac{x(x-2)}{x(x^2+x+6)}\\&=\lim\limits_{x\to 2}\frac{x-2}{x^2+x+6}\\&=0\end{align*}

  • \begin{align*}\lim\limits_{x\to -3}\frac{2x^2+2x-12}{4x+12}&=\lim\limits_{x\to -3}\frac{2(x^2+x-6)}{4(x+3)}\\&=\lim\limits_{x\to -3}\frac{(x+3)(x-2)}{2(x+3)}\\&=\lim\limits_{x\to -3}\frac{x-2}{2}\\&=\frac{-3-2}{2}=-\frac{5}{2}\end{align*}

Oppgave 6

Finn grenseverdien dersom den eksisterer.

  • $\lim\limits_{x\to \infty} e^{x}=\infty$

  • $\lim\limits_{x\to 0} e^{x}=1$

  • $\lim\limits_{x\to -\infty} e^{x}=0$

  • $\lim\limits_{x\to \infty} \ln{x}=\infty$

  • $\lim\limits_{x\to 0} \ln{x}=-\infty$

  • $\lim\limits_{x\to \infty} e^{-x}=0$

  • $\lim\limits_{x\to -\infty} e^{-x}=\infty$

Oppgave 7

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$f(x)=e^{-x+1} \ , \ D_f=\mathbb{R}$$

Bestem grenseverdiene $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$ og $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ dersom de eksisterer.

  • \begin{align*}\lim\limits_{x \to \infty} f(x)&=\lim_{x \to \infty} e^{-x+1}\\&=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x-1}}\\&=\frac{1}{e^{\infty}}\\&=0\\ \\\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)&=\lim_{x \to -\infty} e^{-x+1}\\&=e^{-(-\infty)+1}\\&=e^{\infty}\\&=\infty \ \text{ det vil si ingen grense}\end{align*}