$$f(x)=f(g(u)) \ , \ u’=\frac{du}{dx}$$

Oppgave 1

Substitusjon er integralregningens kjerneregel.

Dersom du ville brukt kjerneregelen for å derivere kan det være lurt å prøve substitusjon.

  • Løsningsforslag:
    \begin{align*}
    \int e^{5x} \ dx
    &=\int e^u\cdot \frac{1}{5} \ du\\
    \text{Substitusjon : }\\
    &u=5x \ , \ u'=5\\
    dx&=\frac{1}{5}du\\
    &=\frac{1}{5}e^{5x}+C
    \end{align*}

  • Løsningsforslag:\begin{align*}\int \frac{2\ln{x}}{x} \ dx&=2\int\frac{u}{x}\cdot x\cdot du \\\text{Substitusjon : }\\&u=\ln x \ , \ u'=\frac{1}{x}\\&=2\int u \ du\\&=2\cdot \frac{1}{2}u^2 +C\\&=(\ln x)^2+C\end{align*}

  • Løsningsforslag :\begin{align*}\int \frac{8x}{2x^2+5} \ dx&=\int \frac{8x}{u}\cdot \frac{1}{4x} \ du\\\text{Substitusjon : }\\&u=2x^2+5 \ , \ u'=4x \\&=2\int \frac{1}{u} \ du\\&=2 \ln(2x^2+5)+C \end{align*}

Oppgave 2

  • Løsningsforslag:
    \begin{align*}
    \int (2x+1)e^{x^2+x} \ dx
    &=\int e^u \ du\\
    \text{Substitusjon : }\\
    u=(x^2+x) \ ,& \ u'=(2x+1)\\
    dx&=\frac{1}{u’}du=\frac{1}{2x+1}du\\
    - - - - & - - - - \\
    &=\int e^u \cdot (2x+1)\cdot \frac{1}{2x+1}\ du\\
    &=\int e^u \ du\\
    &=e^u+C\\
    &= e^{x^2+x}+C\end{align*}

  • Løsningsforslag:\begin{align*}\int \frac{e^x}{1+e^x} \ dx&=\int \frac{e^x}{u}\cdot \frac{1}{e^x} \ du\\\text{Substitusjon : }\\u=1+e^x \ &, \ u'=e^x\\&=\int \frac{1}{u} \ du\\&=\ln(e^x+1)+C\end{align*}

  • Løsningsforslag:\begin{align*}\int x \cdot (x^2+2)^6 \ dx&=\\\text{Substitusjon : }&u=x^2+2 \ , \ u'=2x\\&=\frac{1}{2}\int u^6 \ du \\&=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{7}u^7+C\\&=\frac{1}{14}(x^2+2)^7+C\end{align*}

Oppgave 3

  • Løsningsforslag:\begin{align*}\int \frac{x}{x^2+1} \ dx&=\int \frac{x}{u}\cdot \frac{1}{2x} \ du\\\text{Substitusjon : }&u=(x^2+1) \ , \ u'=2x\\&=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u} \ du\\&=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C\end{align*}

  • Løsningsforslag:\begin{align*}\int 2x \ e^{x^2+1} \ dx&=\int 2x\cdot e^{u}\cdot \frac{1}{2x} \ du\\\text{Substitusjon : }&u=x^2+1 \ , \ u'=2x\\&=\int e^u \ du\\&=e^{x^2+1}+C\end{align*}

  • Løsningsforslag:\begin{align*}\int \frac{1}{3x+1} \ dx&=\int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{3} \ du\\\text{Substitusjon : }\\&u=3x+1 \ , \ u'=3\\&=\frac{1}{3}\ln|3x+1|+C\end{align*}

Oppgave 4

  • Løsningsforslag:\begin{align*}\int \frac{(\ln{x})^2}{x} \ dx&=\int\frac{u^2}{x}\cdot x\ du\\\text{Substitusjon : }&u=\ln x \ , \ u'=\frac{1}{x}\\&=\int u^2 \ du\\&=\frac{1}{3}(\ln x)^3+C\end{align*}

  • Løsningsforslag:\begin{align*}\int \frac{6x^2}{x^3+1} \ dx&=\int\frac{6x^2}{u}\cdot \frac{1}{3x^2} \ du\\\text{Substitusjon : }&u=x^3+1 \ , \ u'=3x^2 \\&=2\int \frac{1}{u} \ du\\&=2\ln(x^3+1)+C\end{align*}

  • Løsningsforslag:\begin{align*}\int \frac{2x}{(x^2+3)^3} \ dx&=\int\frac{2x}{u^3}\cdot \frac{1}{2x} \ du\\\text{Substitusjon : }\\u&=x^2+3 \ , \ u'=2x \\&=\int u^{-3} \ du\\&=\frac{1}{-2}u^{-2}+C\\&=-\frac{1}{2(x^2+3)^2}+C\end{align*}

Oppgave 5

  • Løsningsforslag:\begin{align*}\int 4e^{2x+1} \ dx&=\int 4 \cdot e^u\cdot \frac{1}{2} \ du\\\text{Substitusjon : }&u=2x+1 \ , \ u'=2\\&=2\int e^u \ du\\&=2 e^{2x+1}+C\end{align*}

  • Løsningsforslag:\begin{align*}\int x\cdot (x^2+1)^2 \ dx&=\int x\cdot u^2\cdot \frac{1}{2x} \ du\\\text{Substitusjon : }&u=x^2+1 \ , \ u'=2x \\&=\frac{1}{2}\int u^2 \ du\\&=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}u^3+C\\&=\frac{1}{6}(x^2+1)^3+C\\\end{align*}