Modellering med funksjoner
Oppgave 1
En dyrebestand består i dag av 12 000 dyr. En gruppe forskere antar at bestanden vil avta lineært, og at det vil være 6000 dyr igjen om 10 år.
-
Vi har at dyrebestanden avtar lineært med 6000 dyr i løpet av 10 år. Det vil si at dyrebestanden avtar med 600 dyr per år. I dag er det 12 000 dyr. Vi kan da sette opp en lineær modell ,
$$f(x)=12 000-600 x$$
der $f$ viser dyrebestanden etter $x$ antall år.
-
Vi finner først ut hvor mange prosent dyrebestanden vil avta hvert år etter denne modellen.
Om ett år er det 11400 dyr igjen, setter opplysningene inn i:
\begin{align*}
ny \ verdi &=gammel \ verdi \cdot vekstfaktor^{antall \ aar}\\
11400&=12000\cdot x\\
x&=11400/12000\\
&=114/120=0.95
\end{align*}En nedgang på 5 \% gir en vekstfaktor på 0,95.Vi kan da sette opp eksponentiell modell:
\begin{align*}
ny \ verdi &=gammel \ verdi \cdot vekstfaktor^{antall \ aar}\\
g(x)&=12000\cdot 0,95^x
\end{align*}
, der $g$ viser dyrebestanden etter $x$ antall år
-
Vi vet at den lineære modellen antar en nedgang på 600 dyr per år. Den eksponentielle avtar med 600 dyr første år. Det neste året vil dyrebestanden avta med 5 % av 11 400, som vil være lavere enn 600. Det betyr at dyrebestanden vil avta med færre og færre dyr for hvert år som går etter den eksponentielle modellen. Etter den lineære modellen synker dyrebestanden med det samme antallet hvert år. Etter 10 år vil det derfor være færrest dyr igjen med den lineære modellen
Oppgave 2
I 2017 er verdien av en leilighet 1 200 000 kroner.
-
Verdi etter $x$ år = verdi i 2017 $+ 80 000\cdot x $ antall år x
$$f(x)=1 200000+80000 x$$
-
$Ny \ verdi=gammel \ verdi\cdot vekstfaktor^{antall \ aar}$
$$g(x)=1200000\cdot 1,08^x$$
-
$f$ er en lineær funksjon, og grafen må være en rett linje. Da er B riktig alternativ.
-
$g$ er en eksponentielt voksende funksjon. Da må A være riktig alternativ.
Oppgave 3
-
Eksponentiell vekst betyr at vi har prosentvis endring over flere perioder av samme lengde, for eksempel over flere år.
-
Graf A viser en vekst som avtar over tid
Graf C viser en lineær vekst
Graf B viser en graf som har jevn prosentvis vekst, altså en eksponentiell vekst
Oppgave 4
I koordinatsystemet har Liv markert hvor mange minutter hun trente i uke 1 og i uke 5.
Liv har som mål at antall minutter hun trener, skal øke lineært for hver uke.
-
Jeg tegner av figuren og drar en rett linje gjennom punktene.
Jeg finner stigningstallet ved å ta endring i y-retning delt på endring i x-retning: $$a=\frac{90-60}{5-1}=\frac{30}{4}=7,5$$
Konstantleddet er der linja skjærer y-aksen. Siden stigningstallet er 7,5 kan jeg gå ett steg tilbake fra punkt Aog finner at b er .
Modellen blir f(x) = 7,5x + 52,5, der f er antall minutter hun må trene, og x er uke nr.
-
$f(40)=7,5\cdot 40+52,5=300+52,5=325,5$
Liv må trene i 352,5 minutter i uke 40 ifølge denne modellen.
Oppgave 5
Lars observerer en bakteriekultur. Fra han startet observasjonene, har antall bakterier avtatt eksponentielt. Se grafen til funksjonen B ovenfor.
-
Vi ser at antall bakterier starter med $10 000$. Den første timen avtar antallet fra $10 000$ til $9 000$ og jeg bruker dette til å finne vekstfaktor:
\begin{align*}
Ny \ verdi & =gammel \ verdi \cdot vekstfaktor^{antall \ timer}\\
9000&=10000\cdot x^1\\
x&=\frac{9000}{10000}\\
&=0.90
\end{align*}Da blir uttrykket $B(x)=10000\cdot 0.90^x$.
Oppgave 6
Antall elever ved en skole har avtatt lineært de siste 10 årene. For 10 år siden var det
1 400 elever ved skolen. Nå er det 1 340 elever ved skolen.
-
En lineær modell er på formen $y=ax+b$, der a er stigningstallet og b er konstantleddet.
I dette tilfellet er konstantleddet 1400, dersom vi lar x = 0 i dette tidspunktet.
En lineær modell som viser utviklingen disse 10 årene er f(x) = -6x + 1400.
-
Vi får en eksponentiell funksjon på formen $y = a \cdot bx$, der a er antall elever ved $x = 0$, som i dette tilfellet er $1340$. $b$ er vekstfaktoren, som her er $0,995$.
En modell som viser hvor mange elever det vil være ved skolen om $x$ år er $f(x) = 1340 \cdot 0,995^x$.
Oppgave 7
Sigurd er $30$ km fra hjemmet sitt. Han sykler hjemover med en konstant fart på $12$ km/h.
-
Jeg plotter de to punktene $(0, 30)$ og $(1, 18)$ i et koordinatsystem, og tegner en stråle gjennom disse to punktene og ned på x-aksen.
\includegraphics{funksjon-2PY-8.png}
-
Det tar to og en halv time før Sigurd er hjemme.
Oppgave 8
I 2014 er det 350 elever ved en skole. Anta at det vil være 275 elever ved skolen i 2029, og at antall elever avtar lineært i denne perioden.
-
En lineær modell vil være på formen $A(x)=ax+b$, der $a$ er stigningstallet og $b$ er konstantleddet.
Konstantleddet $b$ angir elevtallet når $x = 0$, altså i 2014. $b$ er derfor lik $350$, i 2029 er $x = 15$
$$a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{275-350}{15-0}=-\frac{75}{15}=-5$$
En lineær modell for antall elever ved skolen etter $x$ antall år blir $A(x) = -5x + 350$.
-
I 2024 er x = 10.
$$A(10)=-5\cdot 10+350 = 300$$
Ifølge denne modellen vil det være 300 elever ved skolen i 2024.
-
I denne modellen øker antall elever med 3 \% årlig, fra 200 elever i 2014.
Oppgave 9
Torbjørn og Tore padler fra Flekkefjord til Torsøy. Der går de i land og tar en pause før de padler tilbake. Ovenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av padleturen til Torbjørn (blå graf) og padleturen til Tore (rød graf).
-
Vi ser av den grafiske framstillingen over at Torbjørn kom først fram til Torsøy, 10 minutter før Tore. Begge drar samtidig fra øya, Torbjørn etter 30 minutter og Tore etter 20 minutter.
-
$$v=\frac{s}{t}=\frac{4 \text{ km}}{40\text{ min}}=\frac{4000 \text{ m}}{40\text{ min}}=100 \text{ m/min.}$$
Tore padler med en fart på $100$ m/min på vei ut til Torsøy.
-
Tore padlet med en konstant fart, mens Torbjørn sin fart varierer.
Torbjørn padler fortere enn Tore til å begynne med, men tar det så rolige, før han så legger inn en innspurt de siste 10 minuttene. Han legger også inn to pauser på fem minutter underveis. Tore er tilbake i Flekkefjord 10 minutter før Torbjørn.
-
Item description
-
Vi bruker CAS og finner $$V(0)=1000$$
Dette betyr at vannmengden i tanken før kranen åpnes er 1000 Liter.
-
Vi bruker GeoGebra og tegner grafen til $V(x)$ .
-
Vi kan for eksempel bruke CAS og løse likningen
$$V(x)=400 \Rightarrow x=5.13$$
$0.13/60=7.8$,
Tiden det tar før det er 400 L igjen o tanken er 5 minutter og 8 sekunder.
Vi kan også løse oppgaven grafisk ved å tegne linjen $x=400$ og bruke verktøyet «skjæring mellom to objekt».
-
Tanken rommer 1000 L og tømmes på 10 minutter. Vi finner gjennomsnittet.
$$1000/10=100$$
Vi finner at det i gjennomsnitt renner \uuline{100 L vann per minutt} fra tanken mens den tømmes.
-
Den momentane vekstfarten i et punkt er stigningen til tangenten i punktet. Vi legger inn punktet og tegner tangenten til grafen til $V$ i punktet $P$ ved å bruke verktøyet «tangenter».
Den momentane vekstfarten til $V$ er $–149$ liter per minutt når $x=3$
Det betyr at akkurat 3 minutter etter at kranen er åpnet, minker vannet i tanken med \uuline{149 liter per minutt}.
Oppgave 10
Et firma produserer vanntanker. Carl har undersøkt en av tankene og funnet ut at dersom tanken er full og kranen åpnes, vil det etter minutter være liter vann igjen i tanken, der
$$V(x)=(10-0.1x^2)^3 \ \ , \ \ 0\leq x\leq 10$$
-
Situasjon 1 vil være en lineær graf som starter på 9 kroner på y-aksen, og ha en rett linje som stiger med 15 for hver x-verdi. Dette kan beskrives av graf H.
-
Situasjon 2 vil være en eksponentialfunksjon. Grafen til denne funksjonen starter på et visst beløp på y-aksen og stiger eksponentielt med 1.035. Dette kan beskrives av graf B.
-
Situasjon 3 vil være en graf som starter på et visst antall på y-aksen, deretter stige inntil en viss verdi hvor grafen vil stagnere og veksten stopper. Dette kan beskrives av graf F.
-
Situasjon 4 er en sitasjon som viser prisen for hver av vektklassene på pakkene. Siden det er samme pris for pakker innen en vektklasse, vil dette vises som en rett linje, og hver av vektklassene har ulik pris, så det blir en vannrett linje på hver av klassene. Dette kan beskrives av graf C.
Oppgave 11
I figuren har vi fire ulike situasjoner beskrevet. Det er også tegnet åtte grafer.
Situasjon 1
Jeg fant en butikk hvor de solgte ulike små sjokoladebiter. Jeg betalte 9 kroner for en kurv jeg kunne ha sjokoladebitene i og 15 kroner per hektogram sjokolade jeg puttet i kurven.
Situasjon 2
Jeg har arvet penger etter bestemor. Pengene har jeg satt på en sparekonto der jeg får en fast rente på 3,5 % per år.
Situasjon 3
Jeg leste en gang om en dyrebestand som levde på en øy. Dyrene formerte seg raskt, og bestanden ble større og større helt til det ble så mange dyr på øya at det ble vanskelig for alle å finne nok mat. Da ble det ikke født så mange dyr lenger, og antall fødte dyr per år var tilnærmet lik antall dyr som døde per år.
Situasjon 4
Jeg skulle sende en pakke med Posten i går og lurte på hvor mye jeg måtte betale i porto.
Jeg fant denne oversikten på posten.no:
\begin{align}
\text{Vekt} \ &\text{ Betal på posten.no }\\
0-10 \ kg \ &145,–\\
10-25 \ kg \ &260,–\\
25-35 \ kg \ &370,–\\
\end{align}
Husk å begrunne svarene dine.
-
Brukte kommandoen Funksjon til å skrive inn funksjonen G(x), se figuren over.
-
Toppunktet på grafen har koordinatene $(50, 3)$, se ... Det betyr at det er tre meter ned til vannet på det høyeste, så da skal en båt på 2,90 m høyde så vidt kunne passere under.
-
Skrev inn linja y = 2,5, se linja f i utklippsbildet i a). Fant skjæringspunktene mellom f og grafen til G(x) med kommandoen Skjæring(f, G), se punktene D og F. Regnet så ut forskjellen mellom y-koordinatene, se tallet a.
Avstanden fra C til E er den samme som avstanden fra D til F, som er 50 m.
Oppgave 12
En gangbro går over en elv. I koordinatsystemet har vi tegnet en skisse av broen. På skissen går broen fra punktet A til punktet B.
Funksjonen $G$ gitt ved $$G(x)=-0.0008x^2+0.08x+1 \ , \ 0\leq x \leq 100$$
viser broens høyde $G(x)$ meter over elva ved normal vannstand der den horisontale avstanden fra punktet $A$ er $x$ meter.
-
$$f(x)=1.42\cdot 0.87^x$$
Vekstfaktoren er 0,87. Da avtar konsentrasjonen med 1 – 0,87 = 0,13 per døgn.
Giftkonsentrasjonen er på $f(0)=1,42$ mg/L rett etter ulykken,
-
avtar med 13 % per døgn.
-
Giftkonsentrasjonen avtok i gjennomsnitt med 0,13 mg/L per døgn den første uken etter ulykken.
$$\frac{f(7)-f(0)}{7}=0.13$$
-
Det tar litt over 9 døgn før vannet igjen kan drikkes.
Oppgave 13
En tankbil med gift har vært innblandet i en ulykke. Noe av giften har havnet i en innsjø.
Innsjøen brukes som drikkevannskilde.
Giftkonsentrasjonen f(x) mg/L i drikkevannet x døgn etter ulykken er gitt ved
$$f(x)=1,42\cdot 0,87^x$$