R1 Eksamen Høst 2025
Oppgave 1
Oppgave 1 (5 poeng)
a) Deriver funksjonen $f$ gitt ved
$$\qquad\displaystyle f(x)=\frac{1}{3} x^3+\sqrt{x}+2$$
Funksjonen $g$ gitt ved $\displaystyle g(x)=\frac{2x-3}{e^x}$ er kontinuerlig
og deriverbar for alle $x\in\mathbb{R}$
b) Bestem $g\prime(2)$ og $g\prime(3)$.
c) Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til $g$ når $x\in[2, 3]$?
Løsningsforslag
a)
$$\qquad\begin{aligned}
f(x)&=\frac{1}{3}x^3+\sqrt{x}+2\\
f'(x)&=x^4+\frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{aligned}$$
b)
$$\qquad\displaystyle\begin{aligned}
g(x) &=\frac{2x-3}{e^x}\\
g\prime(x) &=\frac{2\cdot e^x-(2x-3)\cdot e^x}{(e^x)^2}\\
&=\frac{e^x(2-2x+3)}{(e^x)^2}\\
&=\frac{5-2x}{e^x}\\ \\
g\prime(2) &=\frac{5-2\cdot 2}{e^2}\\
&=\frac{1}{e^2}\\ \\
g\prime(3) &=\frac{5-2\cdot 3}{e^3}\\
&=\frac{-1}{e^3}\\
\end{aligned}$$
c)
Grafen stiger i $g(2)$ og synker i $g(3)$, da vil grafen ha et toppunkt i intervallet $x\in[2,3]$
Oppgave 2
Oppgave 2 (3 poeng)
a) Løs likningen
$$\qquad\qquad (\lg x)^2-2\lg x=8$$
b) Bestem $a$ slik at $$\log_a \frac{1}{64}=-3$$
Løsningsforslag
a)
$$\qquad\begin{aligned}
(\lg x)^2-2\lg x&=8\\
(\lg x)^2-2\lg x-8&=0\\
\lg x &= \frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}\\
&= \frac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}\\
&=\frac{2\pm\sqrt{36}}{2}\\
&=\frac{2\pm 6}{2}\\
\lg x = \frac{2+ 6}{2} &\vee \lg x=\frac{2- 6}{2}\\
\lg x = 4 &\vee \lg x=-2\\
x=10^4 &\vee x=10^{-2}\\
x=10000 &\vee x=\frac{1}{100}
\end{aligned}$$
b)
$$\qquad\begin{aligned}
\log_a \frac{1}{64}&=-3\\
\log_a \frac{1}{4^3}&=-3\\
\log_a 4^{-3}&=-3\\
a&=4
\end{aligned}$$
Oppgave 3
Oppgave 3 (3 poeng)
a) Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:
$$\qquad \displaystyle\lim_{x\to -2} \frac{x^2-4x+2}{x^2-2x-8}$$
b) 1) Bestem $a$ slik at grenseverdien eksisterer:
$$\qquad \displaystyle\lim_{x\to -2} \frac{x^2+ax+2}{x^2-2x-8}$$
2) Bestem grenseverdien for denne verdien av $a$.
Løsningsforslag
a)
$$\qquad\begin{aligned}
\lim_{x\to -2} \frac{x^2-4x+2}{x^2-2x-8}&=\infty\\[1.5em]
\frac{(-2)^2-4\cdot (-2)+2}{(-2)^2-2\cdot(-2)-8}&=\frac{4+8+2}{4+4-8}
\end{aligned}$$
Vi får null i nevneren, og ikke i telleren, da vil uttrykket gå mot uendelig, altså finnes ingen grense.
b)
$$\qquad\begin{aligned}
\lim_{x\to -2} \frac{x^2+ax+2}{x^2-2x-8}&=
\end{aligned}$$
For at grenseverdien skal eksistere må vi få et $\frac{0}{0}$-uttrykk, og deretter bruke L'Hôpitals regel.
Konstantleddet i telleren tilsier at $x_1\cdot x_2=2$ da får vi enten $(x-1)(x-2)$ eller $(x+1)(x+2)$, for å kunne forkorte uttrykket velger vi den siste kombinasjonen.
\begin{align}
\frac{x^2+ax+2}{x^2-2x-8}&=\frac{(x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)}\\[1.5em]
(x+1)(x+2) &=x^2+3x+2\\
a&=3
\end{align}
Grenseverdien blir da:
\begin{align}
\frac{x^2+3x+2}{x^2-2x-8}&=\frac{(x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)}\\[1.5em]
&=\frac{(x+1)}{(x-4)}\\[1.5em]
\lim_{x\to -2} \frac{x+1}{x-4}&=\frac{-2+1}{-2-4}=\frac{-1}{-6}=\frac{1}{6}
\end{align}
Oppgave 4
Oppgave 4 (6 poeng)
I et koordinatsystem har vi gitt punktene $A(-2, 3)$ og $B(3, 2)$
a) Bestem lengden av linjestykket $AB$.
Linja gjennom $A$ og $B$ skjærer x-aksen i punktet $C$.
b) Bestem koordinatene til $C$.
Et punkt $D$ er gitt ved $D(2, t)$ der $t\in \mathbb{R}$
c) Bestem $t$ slik at $\angle ABD$ blir $90^\circ$.
Løsningsforslag
a)
\begin{align}
A&=(-2,3)\\
B&=(3,2)\\
\overrightarrow{AB}&=[3-(-2),2-3]=[5,-1]\\
|\overrightarrow{AB}|&=|[5,-1]|\\
&=\sqrt{5^2+(-1)^2}\\
&=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}
\end{align}
b)
Skjærer x-aksen når y-koordinatet er null.
\begin{align}
\vec{r}(t)&=[-2+6t , 3-t]\\
3-t&=0\\
t&=3\\
\vec{r}(3)&=[-2+6\cdot 3 , 3-3]\\
&=[16,0]
\end{align}
c)
\begin{aligned}
D&=(2,t)\\
\overrightarrow{BD}&=[2-3,t-2]=[-1,t-2]\\
\overrightarrow{BA}&=-\overrightarrow{AB}=[-5,1]\\
\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{BA}&=0\\
[-1,t-2]\cdot [-5,1]&=0\\
(-1)\cdot(-5)+(t-2)\cdot 1&=0\\
5+t-2&=0\\
t&=-3
\end{aligned}
Oppgave 5
Oppgave 5 (4 poeng)
En funksjon $f$ er gitt ved
$$\qquad f(x)=4x^2\cdot \ln x$$
a) Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
En elev jobber med funksjonen $f$ og har skrevet programmet nedenfor.
b) Hva ønsker eleven å finne ut?
Forklar hva programmet gjør i linje 11-20.
Bestem verdien som blir skrevet ut når programmet kjøres.
from math import log # log(x) er kode for ln(x)
a = 0.1
b = 3
maks_avvik = 0.0001
def f(x): # definerer funksjonen
return 4*x**2*log(x)
m = (a+b)/2
while abs(f(m)) >= maks_avvik:
if f(a)*f(m) < 0 :
b = m
else :
a = m
m = (a+b)/2
print(m)
Løsningsforslag
a)
\begin{aligned}
f(x) &=4x^2\cdot \ln x\\
f\prime(x) &=8x\cdot \ln x+4x^2\cdot \frac{1}{x}\\
&=8x\cdot \ln x+4x\\
&=4x(2\ln x+1)\\
f\prime(x) &=0\\
4x(2\ln x+1)&=0\\
4x=0 &\vee \ln x=-\frac{1}{2}\\
x=0 &\vee x=\frac{1}{\sqrt{e}}\\
\end{aligned}
b)
Eleven ønsker å finne nullpunktet til grafen, og hen vil bruke halveringsmetoden.
linje 11 : regner ut midtpunktet mellom a og b.
linje 13 : loopen kjører så lenge funksjonsverdien i midtpunktet er større enn definert maksavvik.
linje 15 : hvis produktet er negativt vil nullpunktet ligge mellom a og m.
linje 16 : flytter b til der m ligger
linje 17 : hvis produktet er positivt ligger nullpunktet mellom m og b
linje 18 : da flyttes a til m
linje 20 : regner ut nytt midtpunkt og kjører loopen på nytt.
\begin{aligned}
f(x) &=0\\
4x^2\cdot \ln x &=0\\
4x^2= 0 &\vee \ln x=0\\
x=0 \text{ ikke gyldig }&\vee x=1
\end{aligned}
Programmet regner ut punktet $(1,0)$.
Del 2
Oppgave 1
Oppgave 1 (6 poeng)
Tabellen nedenfor viser folketallet på et lite tettsted, noen år i perioden 1960-1980.
a) Bruk informasjonen til å lage en modell $F$ på formen
$$F(t)=\frac{B}{1+a\cdot e^{-k\cdot t}}$$
for antall personer $F(t)$ som bodde på dette tettstedet $t$ år etter 1960. Vurder modellens gyldighetsområde.
b) Bestem $F\prime(12)$ og $F\prime\prime(12)$. Gi en praktisk tolkning av svarene.
c) Når økte antall personer som bodde på dette tettstedet, med mer enn 150 personer per år i følge modellen?
Løsningsforslag
a)
Legger inn tabellen i regnearket og kjører regresjonsanalyse med logistisk modell.
Gyldighetsområde:
Bakover i tid kan modellen være gyldig, men det vil i praksis si at det ikke bodde noen der 20-30 år før målingene startet i 1960.
Framover i tid viser modellen at folketallet vil stabilisere seg på 2841 innbyggere. Det kan være fysisk begrensning el.l. som medfører denne stagnasjonen, men sannsynligvis vil ikke denne modellen være riktig hvis vi går mange år forbi siste målingen. Hvis vi ser på dataene, så er det en vekst, selv om veksten de siste årene er veldig liten.
b)
$f\prime(x)=115.4$ betyr at endringen er ca. 115 nye innbyggere i 1972
$f\prime\prime(x) \lt 0$ betyr at veksten avtar.
c)
Endringen i folketall er høyere enn 150 innbyggere per år i perioden 1963-1970.
Oppgave 2
Oppgave 2 (4 poeng)
\begin{aligned}
f(x) &= \begin{cases}
ax+b &, x \leq -2 \\
2x^3+2x^2-2x &, -1 \lt x \lt 0\\
c &, x \geq k
\end{cases}\end{aligned}
der $a, b, c \in \mathbb{R}$ og $k\in \langle -2,\rightarrow\rangle$
a) Avgjør om $f$ er kontinuerlig når $x=-2$ dersom $a=2$ og $b=-2$.
b) Bestem $a, b, c$ og $k$ slik at $f$ er kontinuerlig og deriverbar når $x=-2$ og når $x=k$
Løsningsforslag
a) Funksjonen $f$ er gitt ved
\begin{aligned}
\lim_{x\to -2^-} ax+b &= -2a+b\\
&=-2\cdot 2+(-2)\\
&=-4-2=-6\\
\lim_{x\to -2^+} 2x^3+2x^2-2x &= 2\cdot (-8)+2\cdot 4-2\cdot (-2)\\
&=-16+8+4=-4\\
\lim_{x\to -2^-} f(x) &\cancel = \lim_{x\to -2^+} f(x)
\end{aligned}
Altså er den ikke kontinuerlig for disse verdiene, se linje 4-6.
b)
$$\lim_{x\to -2^-} f(x) = \lim_{x\to -2^+} f(x)$$
$$\lim_{x\to -2^-} f\prime(x) = \lim_{x\to -2^+} f\prime(x) $$
$$\lim_{x\to k^-} f(x) = \lim_{x\to k^+} f(x) $$
$$\lim_{x\to k^-} f\prime(x) = \lim_{x\to k^+} f\prime(x) $$
Se linjene 7-11, det er to løsninger
$a=14, b=24 , c=2, k=-1$
og
$a=14, b=24, c=-\frac{10}{27}, k=\frac{1}{3}$
Se skisser under for hvordan de to løsningene ser ut.
Oppgave 3
Oppgave 3 (4 poeng)
Beboerne i et boligområde klager på lukt fra et biogassanlegg. Kommunen tar luftprøver og virderer værdata som vind og temperatur.
Prøvene analyseres, og hver prøve gis en luktverdi $C$. Denne luktverdien er gitt i luktenheter (odour units) per kubikkmeter (OU/$m^3$).
Sammenhengen mellom $C$ og luktintensiteten $I$ er gitt ved
$$ I=1,4\cdot \lg(C)-0,3$$
Biogassanlegget er pålagt å forholde seg til tabellen nedenfor.
Resultatet av prøvene viser luktverdier mellom 500 OU/$m^3$ og 1500 OU/$m^3$.
a) Har beboerne grunnlag for å klage?
Biogassanlegget tar klagene på alvor og reduserer luktplagene.
b) Hvilken luktverdi må nye prøver vise for at luktintensiteten skal bli akseptabel?
Løsningsforslag
a)
C = Luktverdi
I = Luktintensitet
Se linje 1-3
Verdiene ligger i området $3.5 - 4.1$, dette er plagsom lukt som bør begrenses.
b)
Hvis luktintensiteten skal være akseptabel må $I=2$, luktverdien må da være $C \lt 44$
Se linje 4
Oppgave 4
Oppgave 4 (6 poeng)
Ina følger en sti fra ei hytte til et utsiktspunkt. I et koordinatsystem der enheten langs aksene er meter, ligger hytta i punktet $H(0,300)$ og utsiktspunktet i $U(1200,400)$. Stien mellom hytta og utsiktspunktet er en rett linje. Ina går med konstant fart.
a) Forklar at parameterframstillingen
\begin{aligned}
l :
\begin{cases}x &= 1200 s\\
y &=300+100 s
\end{cases}
s\in[0,1]
\end{aligned}
gir den rette linja mellom hytta og utsiktspunktet.
Hele turen tar 20 minutter.
b) Bestem posisjonen til Ina etter 5 minutter.
c) Regn ut farten til Ina. Gi svaret i $m/s$.
Jonas er ute på tur i samme området som Ina. De to vennene møter hverandre.
\begin{aligned}
l :
\begin{cases}
x &=500-20 t\\
y &=310 + 5 t
\end{cases}
s\in[0,1]
\end{aligned}
d) Hvor langt har Ina gått når hun møter Jonas?
Løsningsforslag
a)
Se linje 1-4
b)
Fra hytta til utsikten er det $s\in[0,1]$. Turen tar 20 minutter det vil da si et $s=20 t$, det t er antall minutter. Vi kan da lage en ny retningsvektor som gjenspeiler farten.
$1200 : 20=600$
$100 : 20 = 5$
$r(t)=(60 t , 5 t+300)$
Se linje 5-6
Etter 5 minutter er hun i posisjonen $D(300,325)$
c)
Farten er konstant, og vil hele tiden være $60.21 $ m/minutt $\approx$ 1 m/sekund .
Se linje 7-9
d)
Se linje 10-16
Oppgave 5
Oppgave 5 (4 poeng)
For $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $|\vec{a}|=4$ og $|\vec{b}|=2\sqrt{3}$ og vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $30^\circ$.
Det er gitt at $\vec{p}=\vec{a}+\vec{b}$.
a) Regn ut den eksakte lengden av $\vec{p}$.
Det er gitt at $\vec{q}=t\cdot \vec{a}+\vec{b}$, der $t\in\mathbb{R}$.
b) Bestem $t$ slik at $\vec{p}$ og $\vec{q}$ blir ortogonale.
Løsningsforslag
a)
$$\begin{aligned}
|\vec{a}|&=4\\
|\vec{b}|&=2\sqrt{3}\\
\angle v &=30^\circ\\
\end{aligned}$$
Bruker cosinussetningen: $$p^2=a^2+b^2-2ab \cos(30^\circ)$$
$$\begin{aligned}
\vec{a}^2&=|\vec{a}|^2=4^2=16\\
\vec{b}^2&=|\vec{b}|^2=(2\sqrt{3})^2=12\\
\vec{a}\cdot \vec{b}&=\vec{a}\cdot \vec{b}\cdot \cos(30^\circ)\\
\vec{p}\cdot \vec{q}&=(\vec{a}+\cdot \vec{b})(t\cdot \vec{a}+\cdot \vec{b})\\
\vec{p}\cdot \vec{q}&=0\\
t&=-\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}$$
Oppgave 6
Oppgave 6 (6 poeng)
Nedenfor ser du åtte grafer.
En av grafene er grafen til en funksjon på formen $a^x$, der $a$ er et positivt helt tall.
Tre av grafene er grafer til funksjoner på formen $x^b-c$, der $b$ og $c$ er positive hele tall.
Fire av grafene er grafene til den dobbelderiverte til de fire funksjonene som er beskrevet ovenfor.
a) Sorter grafene i par.
De to grafene i hvert par skal være grafen til en funksjon og grafen til den dobbelderiverte av funksjonen.
Det må komme tydelig fram hvilken graf som er grafen til funksjonen, og hvilken som er grafen til den dobbelderiverte.
Husk å begrunne svarene.
b) Hvilke av de åtte grafene ovenfor er grafer til funksjoner som har en omvendt funksjon?
Løsningsforslag
a)
$a^x$ er en eksponentiell funksjon, dette kan passe til graf $A$ og $G$
MEN $a^0=1$ passer ikke på graf $A$, så graf $G(x)=a^$$
$x^b-c$ er en polynomfunksjon.
$B, C, D, E, F$ er polynomer,
men det kan ikke være $D$ eller $C$, fordi $c\cancel= 0$
$$B, E, F$$ er på formen $$x^b-c$$
G og A
Graf $G$ har den dobbelderiverte i graf $A$, fordi en eksponentell funksjon vil ha en dobbelderivert som også er en eksponentiell.
Polynomfunksjoner vil synke 2 grader når vi dobbelderiverer.
B og C
Graf $B$ er 3.gradsuttrykk, og har den dobbelderiverte i graf $C$ som er lineær.
E og H
Graf $E$ er 2.gradsuttrykk, og har den dobbelderiverte i graf $H$ som er en konstant .
F og D
Graf $F$ er 4.gradsuttrykk, og har den dobbelderiverte i graf $D$ som er 2.grads.
$F$ er sannsynligvis en 4.gradsfunksjon (den er flat i bunnen)
b)
For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon må den være én-entydig i hele sitt definisjonsområde.
A er en eksponentialfunksjon - den er strengt voksende, dermed én-entydig og har en omvendt funksjon.
B er en tredjegradsfunksjon som kun har ett ekstremalpunkt, altså et terrassepunkt, da er den én-entydig og har en omvendt funksjon.
C er en lineær funksjon, den er strengt voksende, dermed én-entydig og har en omvendt funksjon.
D er ikke én-entydig.
E er ikke én-entydig.
F er ikke én-entydig.
G er en eksponentialfunksjon - den er strengt voksende, dermed én-entydig og har en omvendt funksjon.
H er ikke én-entydig.